DSCF2558

206 6. Zmienne losowe jednowymiarowe

1.    Obliczyć a.

2.    Podać dystrybuantę.

3.    Obliczyć P(2^X^e).

a

Rozwiązanie. I. Stałą a wyznaczamy z równości: Jlnxd!x=l. Obliczamy

Jlnxdx=xliix—xj*=alna — a—In 1 + 1.

a (Ina — 1)+1 = 1,

2. Wyznaczamy dystrybuantę.

X |

F(x)= jlnxdx=x(hix— l)|*=x(lnx —1)+1,

, f⁰

F(x)={x(Inx—1)+1

1

3. Szukane prawdopodobieństwo:

P(2^*<e)=F(e)-F(2)=2(l-In2).

Rozkład jednostajny.

mil

liii

dla    x< 1,

dla l<x^e, dla    x>e.

Definicja 63.1. Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi jednostajnemu, (równomiernemu lub prostokątnemu), jeśli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest

wzorem		0	dla	x<a,
(63.1)		C	dla	1 a<x<a-{— C
		1	dla	1 x>a+-f C

Obliczymy dystrybuantę tego rozkładu:

F(x)=0	dla	x<a,
X F(x)= j Cdx=C(x—a)	dla	1 —*
		C
	dla	1 X>fl-|—.
		C

\

0

(6.3.2)

dla x<a,

F(x)= C(x—a)

Wynik zapisujemy w postaci

Przykład 6.3.4. Zmienna losowa X przyjmuje dowolną wartość z przedziału < 1,3>. Zakładając, że rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej jest jednostajny, podać gęstość, dystrybuantę oraz obliczyć P(1,4^AT<2).

Rozwiązanie. Przed napisaniem gęstości przypomnimy, że jest to taka funkcja, dla której pole zawarte pomiędzy jej wykresem a odcinkiem osi x jest równe liczbowo prawdopodobieństw u przyjęcia przez zmienną losową X wartości z danego odcinka. Wymieniona w zadania zmienna losowa nie przyjmuje wartości w przedziałach (—co, 1), (3, +oo), tzn. P(_—ay<X<l)=0=P(3<X<+oo% a zatem gęstość w tych przedziałach jest równa zeru. Ponieważ P(1    to gęstośćf (x) musi być taka, aby pole prosto

kąta zawartego pomiędzy odcinkami <1,3> a wykresem funkcji/(x) było równe I. Uwaga ta pozwala nam wyliczyć stałą C ze wzoru (63.1):

C-(3—1)=1. czyli C=f. Wobec tego gęstość /(x) jest następująca:

O dla x<l, j dła l<x<3, ,0 dla x>3.

Szukane prawdopodobieństwo jest równe polu prostokąta nart odcinkiem 0.4,2)>. Stąd:

P(1_t4< X^2)=|(2- 1,4)=Q3 • 0,6=0,3

(patrz rysunek 6.3.5).

Dystrybuantę otrzymujemy ze związku (6.33):

i

i

j

X

Rys. 6.3.6

1 1,4    2

3

x

a

Rys. 635