76 (68)

2. PROBABILISTYCZNE PODSTAWY METOD WYRÓWNANIA

2.1. Zmienne losowe jednowymiarowe

2.1.1. Dystrybuanta. Funkcja zmiennej losowej. Kompozycja rozkładów prawdopodobieństw

Zmienna losowa, w potocznym rozumieniu, jest to zmienna, której dokładne wartości liczbowe nie mogą być przewidziane przed doświadczeniem (pomiarem). Zmienną losową jest np. wynik rzutu monetą, kostką do gry, a także wynik pomiaru boku, kąta, przewyższenia, itp. Dokładne wyniki tych pomiarów nie dają się przewidzieć ze względu na popełniane błędy pomiaru, spowodowane wieloma trudnymi do przewidzenia czynnikami. Dokładniej, zmienna losowa jest to funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych. Zmienne losowe oznaczamy na ogół dużymi literami, np. X, Y, ..., natomiast wartości, jakie mogą przyjmować - małymi literami, np. x, y,... Zmienne losowe można w pewnym uproszczeniu podzielić na zmienne typu skokowego i typu ciągłego. Zmienna losowa typu skokowego jest to taka zmienna losowa, która przyjmuje wartości ze zbioru skończonego lub przeliczalnego. Każdy z elementów tego zbioru (punkt skokowy x_{) ma prawdopodobieństwo dodatnie p_i (rys. 2.1), tzn.

P(X =.r_f ) = />,•    (2.1)

, tV**xd

J

		, P(X	■*,)
Pl	P3		Pr 0.3
	_- V		.....-Z.....1.

0    1

T    t

reszka    orzeł

•V,    X-,    -t.

Rys. 2.1

Prawdopodobieństwa p_i tworzą rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, przy czym jeśli zmienna ta przyjmuje n wartości x±, x_n, to

/I

P(x_{ < X < .v„) = Pi - 1 i~l

lub

/^j{—oo < x < +«) =    pi = i

M

gdy liczba wartości zmiennej A jest nieskończona (lecz przeliczalna).

Przykład. Jeśli wartości zmiennej X są równe liczbie oczek, uzyskanej przy rzucie kostką do gry, to zmienna ta może przyjąć wartości .v, -- l, x₇ 2,    x₍₎ = 6 z prawdopodobieństwami

P( X = 1) = -,    /^J(X = 2) = , F( A = 6) = -

6 6 6

6

przy czym    ^0 ^ X ^ 6) = p-_t ~ \

/-i

Zmienna losowa typu ciągłego jest to zmienna losowa przyjmująca wartości rzeczywiste, dla której istnieje nieujemna, całkowalna na osi (-«',+») funkcja f (x), taka że

J f(x) dx - 1    (2/2)

Funkcję f(x) nazywamy funkcją gęstości rozkładu zmiennej losowej X lub czasami, krócej, gęstością. Dla dowolnych x_{, x-,, gdzie x_{ c.t-,, zachodzi (rys. 2.2)

Ao

P(x\ < X < x₂) ~ J f(x)dx    (2.3)

^xi

Rys. 2.2

Zatem własność (2.2) należy interpretować jako

+oo

P(~-<x> < X < +«») = jf(x)dx = I

77