220 (71)

****    6. Zmienne losowe jednowymiarowe

,?klad przedstawiamy w tablicy 6.4.6.

—r~~T	—; l	[_1-]	F—^L-—1
zzz r	bj =0,52	6i=0,l0	I 64*0,13 |

samą wartość równą y₍.

Rozkład zmiennej losowej Y przedstawia

składnikami sumy są te prawdopodobieństwa P(X=x), dla których g(_x) samą wartość równą y,.    ^r'^lr

postaci tablicy n'\puj_ąc^B

Zmienna losowa stomm. ..    ________

Y	yi	>2		yt		ym
b,=P{Y=y,)	bt	bx		b,		bm

gdzie wszystkie wartości y_t (i=l. 2, ...) będą już tym razem różne. Przedsta' metodę postępowania zilustrujemy następującym przykładem.

Przykład 6.4.1. Zmienna losowa X podlega rozkładowi danemu w

Tablica 6.4.4

_Pl-P(X-x_t) | px m0,08

/>a =0,16 Pi =0,25

■*■■^2'. (_n= i, 2,3,...). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej y=sin JkA'.

BŁiązanie. Zauważmy, że zmienna losowa Y przyjmuje następujące wartości: ^ /micnna losowa .Vprzyjmuje wartości n = 2ś, wartość I. gdy zmienna losowa wartości n = 4k + 1 i wartość - I, gdy zmienna losowa X przyjmuje wartości 3 (ś 0. 1. 2.    ). Wyznaczmy teraz odpowiadające tym wartościom prawdo-

tablicy" 6.4,

T*Se6s'^w»^:

^D(V = — 1) = 2^-3 +2^_7 + 2~¹¹ + ... = 2^_3(1 — 2~⁴)=Ą,

P(Y=0) = 2~² + 2~⁴ + 2~⁶ + ... = 2~³(l — 2~²)=^,

P(J' = l) = 2~‘+2“⁵ + 2'^, + ... = 2"^,<l-2~⁴) = Ą.

| otnymany rozkład podajemy w tablicy 6.4.7.

Tablica 6.4.7

y    -»

Pt    r»

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y=X².

Rozwiązanie. W rozważanym przykładzie zapis y=.V² oznacza, że zmienna losowd I    | P* I    I '*    ¹    "    '    . _natomj_ast

muje zmienna losowa X, tzn. że g(x) 6.4.5.

^^ffiważmy, że zmienna

1 imienna losowa Y przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości.

Niech .V będzie zmienną losową ciągłą o gęstości prawdopodobieństwa /(x) i niech g(x)

I będzie funkcją ciągłą wraz ze swoją pochodną oraz ściśle monotoniczną w obszarze możli-| '•Kh wartości zmiennej losowej X. Funkcję g(x) będącą *0wczas, jak wiemy, również zmienną losową, oznacz-l*yprzez Y. Zauważmy, że funkcja >>=g(x) posiada przy ■lżonych założeniach różniczkowalną funkcję od-^p^Xc:M.'’). Celem naszych dalszych rozważań bę-l ^pmac/cnie gęstości prawdopodobieństwa /,(>') losowej

|ę^^{02 V} przypadek, gdy funkcja g(x) jest rosnąca.

L ^y każdemu przedziałowi <x, x + Ax) odpowiada jednoznaczny przedział <v, y+Ay) i dlatego

P(*^!ŚX<x + Jx) = P(yś Y<y+Ay).

przez F(x) i F_x{y) odpowiednio dystrybuanty zmiennych losowych X i Y

femy:

F{x+Ax)-F(x)=F_x{y+Ay)-F_t(y).

przyjmuje wartości y związane zależnością funkcyjną y = x² z wartościami x, które przy I 7 ważmy że zmienna losowa X przyjmowała przeliczalną liczbę wartości, natomtas miii* łmipnna incnu/a y t?n    a(r\ = _x². Zależność tę przedstawiamy w postaci tablu |    ‘ ______;^_tiiA łvłko skończoną liczbę wartości.    ....._t_

Tablica 6.4.5

y	,v y
y*&y	i y i
X	*

Rys. 6.4.1

Zauważmy, że po skreśleniu pierwszego wiersza nic otrzymujemy jeszcze zmiennej losowej Y, ponieważ wartości 9 i 1 powtarzają się w tej tablicy, a miano*'** j wartość 9 powtarza się dwa razy z prawdopodobieństwami równymi odpowicdniojS®' oraz/>₆ = 0,05, wartość 1 powtarza siędw-a razy z prawdopodobieństwami równyiros⁰ wiednio p₂ = 0,16 nra*    1A Pr»7rt«talr u/artnŁ*i O i d u.v«r^niiin tv1lrn

lo$o*-

bi*

artosc i powtarza się dwa razy z prawdopodobieństwami równy-wicomo p₂ = v, «6 oraz p₄ = 0,36. Pozostałe wartości 0 i 4 występują tylko jeden raz. ^ pominamy, że znaleźć rozkład zmiennej losowej skokowej, to znaczy określić, przyjmuje wartości i z jakimi prawdopodobieństwami. Zauważamy więc, że zmienn*

Y przyjmuje wartości 0, 1, 4. 9 z prawdopodobieństwami 6, =/^>(y=0)=/?J^=s®’]j^M = />(y=l)=/>₂+/>₄ = 0.16 + 0.36 = 0.52, 6₃ = />(y=4)=p₅=0,l, b_Ą = P(Y~

= 0,08+0.05 = 0,13.