DSCF2559

208 6l Zmienne losowe jednowymiarowa:

Zatem

y Wykres dystrybuanty podano na rysunku 6.3.6.

Przykład 63.5. Strzałka minutowa zegara elektrycznego zmienia położenie w koka każdej minuty, leżeli strzałka wskazuje a minut, to rzeczywisty czas t jest zmienną łosewt przyjmującą wartości z przedziału <a, a-± I). Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa znanej r.

Rozwiązanie. Gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją określoną wzorem

10 dla Ka,

/(0={c    dla a^Ku + l,

p    dla    1.

Stałą C obliczamy z zależności że pole prostokąta zawartego pomiędzy- oddnbes <a. ail) a wykresem funkcji /(r) musi być równe jedności

C-(<H-l—a)=l,    czyli C=l.

Przykład 63.6. Zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału < 1,7). przy założeniu, że prawdopodobieństwo przyjęcia przez nią wartości z wycinka przedziału (3.-4 jest pięć razy większe od prawdopodobieństwa przyjęcia wartości z wycinka o tej sasą długości z przedziału <1,3), a także z przedziału (4,7>. Podać gęstość, dystrybuantę i obS-czyć P(3,6< 2^4,7).

Rozwiązanie. W przedziałach (— oo, 1) oraz (7^-foo) zmienna losowa nie pfzvjnuaf żadnej wartości, więc tutaj /(x)=0. Oznaczmy: P(1^3f<3)=2a, P(3^.V^4)=5ł P(4<1^7)=3ł Ponieważ

P(1^X^7)=1,

to

2a+5a+>3= 1,

czyli

a=0,i i

W każdym z przedziałów <1.3), <3,4>, (4,7> funkcja/(x) jest stała z uwagi na to że prawdopodobieństwa w tych przedziałach są wprost proporcjonalne do ich długości a więc w pierwszym/(x)=C_?, w drogim /(x)=C₂, w trzecim /(x)=C₃. Stałe obbczanr korzystając z tego, źe pola prostokątów nad wymienionymi przedziałami mają bvć ró»* odpowiednio 03. 0.5. 03. a zatem

C,-(3-l)=03, C| =0,1,

dla	x^I,
dla	I <x^3.
dla	x>3.

C_;-l4-3)=03,    C₃-( 7—4)=03,

C₂=03,    C,=0,1.

Z powyższego otrzymujemy następującą gęstość prawdopodobieństwa:

0	dla	JC< 1.
0,1	dla	Ux<3,
03	dla	3$x<4,
0J	dla	4<x<7,
0	dla	x>7.

Wartość szukanego prawdopodobieństwa równa się zakreskowanemu na nrsonku 63.7 polu prostokąta i wynosi

F(3.6^X ^4,7)=0,5-(4—3,6)+0,1 -(4,7—4)=030+0.07=037.

Wyznaczamy teraz dystrybuantę:

> • *

F(x)= |ÓJJx=0Jxj^=0_;ix—0,1    w przedziak (1.3),

3    x

F(x)= J0,Wjc+ j0pdx=0JT0,5xj^=0,5x -13 w przedziale (3.4},

1    3

3    4    *

F(x)= 10,1 <fxj- J0,5dx+ J0,ldx=0,1x4-03 w przedziale (4,7).

1    3    4

Łatwo sprawdzić, że F(7)=l.

Reasumując powyższe wyniki otrzymujemy

0	dla	x<l3
0.1x—0,1	dla
0,5x-!3	dla	3<x<4.
0.1x4-03	dla	4<x$7.
1	dla	x>7.

Szukane prawdopodobieństwo można również obliczyć, korzystając ze wzoru (6.1.Sak P(3.6<X<4,7)=F(4,7)-F(3,6)=0J 4,7+03-0.5 3.6+ 1.3=037.

Rozkład trójkątny.