DSCF2551

190 6. Zmienne łonowe Jednowymiarowe

Iloczyn zdarzeń

f\B_nm\imE_ń

0*1 *■*») '

jest zdarzeniem niemożliwym, gdyż z konstrukcji zdarzeń wynika, że punkt x będąc* granicą ciągu {£„) nie należy do żadnego z nich. Wobec tego na podstawie lematu 6,|,| mamy

P (lim EJ** lim P(E_n)**0.

H**iO    »*♦«

Uwzględniając definicję 6.1.3 otrzymujemy:

F(x)~ lim F(x„)= lim [F(xJ—F(x„j]** Jim P(x„^X<x)=*lim P(EJ =0,

if-“* (O    fi^-1®    II tO    fi-* <£)

więc

lim f Oc*) *>/?(*).

fi^a)

2.    Niech X, i będą dwiema liczbami takimi, że Xj <x₂# Oznaczmy przez /f^ (/= = J, 2) zdarzenie polegające na tym, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x, (przcciwobraz Wówczas

^C>^*a *

przeto na podstawie twierdzenia 4.3.1

P(A_Mt)KP(A_tl), czyli F(x_i)^F(x₂),

co dowodzi, że funkcja ^(jr) jest niemalejąca.

3.    Własności podane w punkcie 3 są oczywiste, niemniej jednak podamy ich formalny dowód.

a) Roz ważmy dowolny ciąg {*„} monotonicznie malejący do —co. Z założenia x*₊i< <x„ wynika, że

z czego wynika, że zdarzenia te tworzą ciąg zstępujący zdarzeń, których koniunkcją jest punkt w minus nieskończoności. Mamy wobec tego

P( lim /4*„)ss lim P{A_Mtt).

Lewa strona tej równości jest zerem, a prawa granicą dystrybuanty, gdy x„ dąży do mi-nus nieskończoności, a więc

lim F(x)**0.

M*f ^& flO

bj W tym przypadku również rozpatrujemy ciąg lecz mónotonicznic rosnący do plus nieskończoności. Zauważmy, że zdarzenia

są wykluczające się, a co za tym idzie

F(x„)-/>(4,_l+ i(A_Mk.,-A_Mj)

k*i

oraz

lim F {x,)=P(A„+ IM,,,.-AJ)=P(r>= 1.

»-*»    <r> l

Własności, o których była mowa w twierdzeniu 6.1J a, są nie tyłkowi oni cczne, ale jak wykażemy rowmeż wystarczające na to, by funkęjaFpc) była dvstrvbuanta. _

Twierdzenie 6J.1b. Jeżeli funkcja F(x) spełnia warunki 1, 2, 3 twierdzenia 6.1.1 a, to jest ona dystrybuanta pewnego tozldadiL

Należy okazać, że dla każdej funkcji F(x) spełniającej założenia 1 - 3 twierdzenia 6J. 1 a istnieje algebra prawodpodobieństwa [/, 5, P]_t tj. te istnieje taka zmienna losowa X o przeciwobrazach należących do ciała borelowskiegp 5, w którym określona jest dystrybuanta P{X<x).

Wykażemy, że można skonstruować zmienną losową X za pomocą funkcji odwrotnej do F(x).

Udowodnimy przede wszystkim, że funkcja x=G(y) odwrotna do F(x) istnieje. Wyróżnimy tu dwa przypadki:

1.    Funkcja F(x) jest ściśle monotoniczna. Jak wiadomo, istnieje wówczas jej funkcja odwrotna, przy czym:

a)    jeśli funkcja F{x) jest ciągła, to funkcja odwrotna x = G(y) jest jednoznacznie określona w przedziale {0,1);

b)    jeśli funkcja F(x) nie jest ciągła w pewnym punkcie x_t, lecz ma w tym punkcie ffcojn (liczba takich punktów może być przeliczalna), tzn.

Ffa +Ó)^s*y2»

przy czym yi<yi i <5>0. W tym przypadku umawiamy się, że <700**,    dla yi<y*y₂,

co umożliwia jednoznaczne określenie funkcji odwrotnej w całym przedziale <0,1> zmien

ną) i

2.    Funkcja F(x) jest monotoniczna słabo, tzn. istnieje taki przedział    źe

F(x)*>yx    dla x₀<x^Xi.

W tym przypadku umawiamy się, że

G0'i)“*o-

Zauważmy teraz, że rozważana funkcja odwrotna jest zmienną losową X=‘G(y), bowiem wszystkie jej przeciwobrazy, odpowiadające nierównościom X<x, są zbiorami (przedziałami <0, F(x)>) zawartymi w przedziale jednostkowym /«<0,1>. Innymi słowy, przeciwobrazy te są zdarzeniami polegającymi na tym, że zmienna (nie losowa, lecz któ-