234 (67)

234 6. Zmienne losowe jednowymiarowe

Przykład 6.6.8. Za każdą serię składającą się z a sukcesów (a>0 jest to liczba sukces^, do pierwszej porażki) gracz otrzymuje f d* jeśli zaś a = 0. to przegrywa b zł. Jaka win ,₄ być liczba y_t aby gra była sprawiedliwa?

Rozwiązanie. Serie mogą składać się z I, 2, 3, ... sukcesów. Zmienna losowa, którą jest wielkość wygranej lub przegranej, może przyjmować wartości: -b, y, y², >\ .. Mccii prawdopodobieństwo sukcesu będziep<l orazyp<\. Stwierdzamy, że prawdopodobief_;. stwa zmiennej losowej X, przyjmującej wartości — b_ty, y². y*_% ... są ró\vne odpo^ied * —PO ~p)i P²0 ~P)> p^s0 -p). • •• Na przykład prawdopodobieństwo wystąpienia tości v² jest równe prawdopodobieństwu dwóch kolejnych sukcesów i następującej pon porażki. Uwagi te pozwalają już wyliczyć E(X):

E(X)= -b(\-p)+yp{l -p)+y²p²(\-p)+...=

=0-p)(-ł>+>^,p+yV+-)=fl-p)^-i’+j^-j=

„    ,yp{b+\)-b

=d-p)—_;--

l-yp

Jeżeli gra ma być sprawiedliwa, ro powinno być E(X)=0. Ponieważp /1, to musi być b 1

yp(b+\)-b-0, czyli y=~—----

b+1 p

Jeśli przyjąć p={ i »p. b=i, to .1 I i grą można interpretować jako rzut monetą, pr/y czym np. za serię a orłów otrzymuje się 1 zt, natomiast za reszkę za pierwszym razen płaci się 1 zł.

Przykład 6.6.9. Zorganizowano następującą grę: dane są cztery urny A, B, C. D W każdej z nich znajduje się po pięć kart o numerach:

urna A:    240.    260,    290,    300,    310,

urna B:    180.    200.    210,    230',    300,

urna C:    170 .    220 ,    230 ,    260 ,    300,

urna D:    180,    190,    210,    220,    330.

Dwaj gracze X i Y losują z wybranej przez siebie urny pięć razy po jednej karcie.;: zwrotem. Po każdych pięciu losowaniach obliczamy średnią wartość wylosowanych numr-rów. Gracz przegrywa wtedy, gdy jego średnia jest mniejsza od średniej przeciwnika więcej niż o 50. Zawodnik X otrzyma! pierwszeństwo wyboru i losuje z urny A.

1.    Którą urnę powinien wybrać zawodnik Y, aby uzyskać najkorzystniejszy wynik w grze?

2.    Jaką liczbę punktów należałoby dokładać do każdej gry zawodnikowi grającemu przeciw X i ciągnącemu odpowiednio z urny A,C,D, aby gra była sprawiedliwa?

I Rozwiązanie. Obliczamy wartości przeciętne liczby punktów dla zawodników J (Ugnących odpowiednio z urn A, B. C, D:

235

§ 6.6. Wartość przeciętna

EJ,X)=\(240 + 260 + 290 + 300 + 310)= 280,

E₅(X) = ł(l80+ 200 + 210 + 230 + 300) = 224.

E,J(X) = | (170 + 220 + 230 + 260 + 300) = 236,

£_o(X) = |(I80+190 + 2I0 + 220 + 330) = 226.

1.    Najkorzystniej jest wybrać tę urnę, dla której wartość przeciętna liczby punktów jest największa, tzn. według kolejności A, C. D, B.

2.    Należy dokładać liczbę punktów równą różnicy wartości przeciętnych.

Przykład 6.6.10. W urnie mamy 6 białych kul i 4 czarne. Ciągniemy z urny kule

je zwrotem, aż do otrzymania kuli białej, lecz co najwyżej trzy razy. Obliczyć w tych trunkach wartość przeciętną liczby ciągnięć.

Rozwiązanie. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie ciągnięć. Należy obliczyć odpowiadające tym wartościom prawdopodobieństwa:

P(X = I)=0,6,    /^,(X=2)=P(C₁B₂)=P(C₁)P(B₂)=0,4 0,6=0,24.

gdzie C, jest to zdarzenie, polegające na otrzymaniu za pierwszym razem kuli czarnej, 8; zaś zdarzenie, polegające na otrzymaniu w drugim losowaniu kuli białej: P(X= 3)=

=1 -(0,6+0,24)=0,16.

Zatem

£ (JO = 0,6-1+0,24- 2 + 0,16-3= 1.56.

Przykład 6.6.11. Obliczyć wartość przeciętną dla rozkładu równomiernego (jednostaj-

Kgo).

Rozwiązanie. Jeżeli jest dana zmienna losowa X. której gęstość f(x) równa się 'lalej dodatniej w pewnym przedziale <a, 6>, a zeru poza tym przedziałem, to jak wiadomo (definicja 6.3.1), o zmiennej tej mówimy, że ma rozkład równomierny, a gęstość wynosi

*ówczas

	0	dla	x<a,
/(*)=	1 b-a	dla	a^x^b,
	0	dla	x>b.
j x/(x)<lx=-—		j ^X^^X

^ł|*ectego