037

37

2.2. Zmienne losowe dyskretne

Przykład 2.2.5.

Licznik Geigera-Millera i źródło promieniowania umieszczono względem siebie tak, że prawdopodobieństwo zarejestrowania cząstki wynosi 0.001. W czasie obserwacji preparat wypromieniował 2000 cząstek. Obliczyć prawdopodobieństwa zarejestrowania przez licznik:

a)    braku cząstek,

b)    mniej niż 4 cząstek,

c)    więcej niż 2 cząstki,

Rozwiązanie.

Niech X będzie liczbą cząstek zarejestrowanych przez licznik Geigera-Millera wśród 2000 wyemitowanych. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy o parametrach p = 0.001 i n = 2000, tzn.

Pr(X = k) =    (0.001)*(0.999)^20OO“*.

Z twierdzenia Poissona wynika, że

Pr (X = *)«^e-\

gdzie X =np = 2000 • 0.001 = 2. Można tak przyjąć, bo 0.1 < np < 10 oraz n > 100. Stąd

a)

2°

Pr(X = 0) w —e"² = e^-2 « 0.135335.

b)

2 2² 2³ 1 + l! ⁺ 2! ⁺ 3!

(.+2 + 2+5)

Pr(X < 4) = Pr(X = 0) + Pr(X :

l)+Pr(X = 2)+Pr(X = 3) 8'

: 0.857123.

c)

Pr(X > 2) = 1 - Pr(X ^ 1) w 1 - 3e“² « 0.593994.

Zadania Zadanie 2.2.1.

Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać:

X	(-°°.-l]	(-1,3]	(3,7]	(7,10]	(10,15]	(15,°°)
F(x)	0	0.15	0.25	0.4	0.85	1

a)    Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X.

b)    Obliczyć Pr(0 < X < 7), EX oraz D²X.