4544139879

2. Zmienne losowe 11

79.    Gramy z drugą osobą, na przykład z bankierem w następującą grę: jeśli w rzucie kostką wypadnie parzysta liczba oczek, bankier płaci nam tyle złotych, ile wypadło na kostce, a jeśli nieparzysta - my płacimy bankierowi tyle, ile wypadło na kostce. Znaleźć rozkład kwoty uzyskanej przez nas w pojedynczym rzucie. Obliczając jej wartość oczekiwaną rozstrzygnąć, czy można przypuszczać, że gra będzie dla nas opłacalna.

80.    Wśród wszystkich dzieci szkolnych z pewnego województwa przeprowadzono ankietę: ile razy byłeś na wakacjach w ciągu ostatnich 4 lat. 20% odpowiedziało 0 razy, 14% — 1 raz, 43% — 2 razy, 19 % — 3, a reszta — 4. Zmienna X jest określona jako: liczba wyjazdów na wakacie w ciągu ostatnich 4 lat. Znaleźć jej rozkład, narysować wykres dystrybuanty, obliczyć EX, D²X, P{X > 3),P(X < 1), P(0 < X < 4).

81.    Prawdopodobieństwo urodzenia się dziewczynki w pewnej populacji wynosi 0,51. W zbiorze rodzin posiadających troje dzieci określamy zmienną X— liczba dziewczynek w rodzinie. Znaleźć rozkład X, obliczyć średnią i wariancję liczby dziewczynek oraz prawdopodobieństwo, że w rodzinie z trójką dzieci jest co najmniej jeden chłopiec.

82.    Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem A = 2. Wyznaczyć kwartyle zmiennej X.

83.    Korzystając z własności wartości oczekiwanej zmiennej losowej X wykazać, że

D²X = EX² - E²X.

2.2. Zmienne losowe ciągłe

84.    Zmienna losowa Z ma rozkład N(0, 1). Obliczyć P(Z > 0), P{\Z\ < 2), P(\Z\ > 1) oraz kwantyle zo.i, #0,7, aro,97-

85.    Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(3, 5). Obliczyć P(\X — 1| > 1).

86.    W populacji studentów w Krakowie wzrost ma rozkład iV(170, 8). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wzrost przypadkowo napotkanego studenta

a)    będzie większy od 166,

b)    będzie należał do przedziału (168, 174),

c)    będzie równy co najwyżej 154.

Każde z prawdopodobieństw zinterpretować na dwóch wykresach funkcji gęstości rozkładu normalnego.

87.    Stwierdzono, że błąd podczas wykonywania pomiaru ma rozkład JV(1, 0,25) (mm). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykonując ten pomiar pomylimy się o

a)    więcej niż 0,5 mm,

b)    mniej niż 0,75 mm,

c)    co najwyżej 0,25 mm?

88.    Rozkład długości liścia rośliny pewnego gatunku jest N(14, 2). Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany liść ma długość

a)    większą niż 17,

b)    równą co najmniej 12 i co najwyżej 19,

c)    równą co najwyżej 13.

Prawdopodobieństwa zinterpretować na 2 wykresach.

89.    Pierśnica buka w pewnym drzewostanie ma rozkład iV(30, 4). Jaki procent buków ma pierśnicę większą niż 40?

90.    Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(m, o).

a)    Obliczyć P{ \X — m\< 3<r}.

b)    Dobrać stałą k tak, aby P{\X — m| < ko) = 0,99.

91.    Zmienna losowa X ma rozkład N(2, 1). Znaleźć dla tej zmiennej kwantyl rzędu 0,2.

© Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska