115716

Zadanie 3.1.

Obliczyć A i B, aby funkcja F(x) była dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej X:

|0

Fi: 'At B arcsii(x):

Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wykreślić funkcje F(x) i f(x). Obliczyć prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową X wartości z przedziału

Rozwiązanie

Na wstępie przypomnę co to jest dystrybuanta. A mianowicie Dystrybuantą mówi nam jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x:

F_x(x) = P(X<x)

Dystrybuanta ma następujące własności (więc badana zadana funkcja też musi je mieć):

1.    (*) ⁼0 , jak widać nasza funkcja spełnia ten warunek.

2.    ^— * *ten warunek też jest spełniony.

3. Fiuikcja musi być niemalejąca.

Aby nasz funkcja była niemalejąca musi być spełniona nierówność:

0 < A + B arcsin(x) <lna przedziale (-1,1)

Wiemy, że funkcja arcsin(x) jest rosnąca, więc B>0, w przeciwnym przypadku funkcja byłaby malejąca i nie spełniałaby warunków.

Tworzymy układ równań:

B > 0

A+ B - arcsin(-^-)> 0

lim A + B —<1

,->1    2

= >

B> 0

lim Ai Barcsin(x)> 0

x->-f

lim A + Barcsin(x)< 1

x->r

B> 0

A

Bf (0,—)

X

. _rBi Af—,1-

2

3 Dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą.

W naszym wypadku fiuikcja musi spełniać następujący warunek: