032

32

2. Zmienne losowe

Zadanie 2.1.3.

Wyznaczyć stałe a, b, c tak, aby funkcja

F(x) =

0

b{ 1 —c/x)

1

dla x ^ 1, dla 1 < x ^ a, dla x > a,

była dystrybuantą zmiennej losowej X:

a)    typu ciągłego,

b)    typu skokowego.

Zadanie 2.1.4.

Zmienna losowa X ma dystrybuantę

0    dla x ^ — 1.

F(x)

jc²

• 1-— dla -1 < x ^ 0,

1    dla x > 0.

Obliczyć prawdopodobieństwa:

a)    Pr(X =4),

b)    Pr(—1 <X sj -0.5),

c)    Pr(—1    <    -0.5),

d)    Pr(—2 <X < 1) oraz EX.

Zadanie 2.1.5.

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X o dystrybuancie

F(x) =

0

1-e-*

dla x < 1, dla x > 1.

Zadanie 2.1.6.

Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie    \

F(x)= |°    ^dla'^5:0'

] 1 — ae ^x dla x > 0.

Wyznaczyć h_k(a) = EX^k i ich dziedziny, dla k = 1,2,3.

Zadanie 2.1.7.

Niech zmienne losowe X i Y będą niezależne oraz niech EX = 2, D²X = 1, Ey = 1, D²y = 4. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 3X — 5k.