032

32

2. Zmienne losowe

2.1.3. Parametry pozycyjne Definicja.

Kwanty le

Kwantylem rzędu p, p€(0,l) rozkładu zmiennej losowej X nazywamy liczbę £_p spełniającą nierówności

(2.1.6)

Pr(X < £_p) > p, Pr(X><^)>l-p.

Nierówności (2.1.6) nie wyznaczają kwantyli jednoznacznie. Gdy dystrybuanta F(x) jest ciągła, to kwantyl %_p jest rozwiązaniem równania F(x) = p.

Mediana i kwartyle

Mediana oznaczana symbolem Me jest kwantylem rzędu p = 1/2. Kwantyle rzędów p — 1 /4 i p — 3/4 nazywa się kwartylami rzędu 1 i 3 (mediana jest kwartylem rzędu 2). Do wskaźników rozrzutu zmiennej losowej zalicza się odchylenie ćwiartkowe Q = (^3/4 ~ Ś./4)/²-

Przykład. Niech Pr(X = k) = 0.1 dla k = 0,1,..., 9. Mediana nie jest wyznaczona jednoznacznie - nierówności (2.1.6) spełnia dowolna liczba z przedziału (4,5), czyli Me € (4,5). Kwartyle są zaś wyznaczone jednoznacznie:    = 2,

^3/4 ~ 7, skąd 2 = 2.5.

Niech teraz X ma rozkład o dystrybuancie F(x) = 1 — e“^ dla jc > 0. Kwantyl rzędu p jest rozwiązaniem równania 1 —    = p skąd %_p = (— ln( 1 —

p))/A. Zatem Mc = (In2)/A = 0.693147/A, natomiast 2 — (ln(3/4) -ln(l/4))/(2A) = (In3)/(2A) = 0.549306/A.

2.1.4. Gęstość

Wzór (2.1.3) definiuje gęstość rozkładu. Gdy F(x) jest dystrybuantą zmiennej losowej X, to mówi się też, że f(x) jest gęstością zmiennej losowej X mimo, że X nie występuje jawnie w definicji gęstości.

Warunki konieczne i dostateczne

Podobnie jak twierdzenie 2.1.2 podaje warunki konieczne i dostateczne na to, aby dana funkcja była dystrybuantą, poniższe twierdzenie podaje warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja była gęstością.

Twierdzenie 2.1.3.

Funkcja f(x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy, gdy

(A)    /(*) ^ 0,

00

(B)    I f(x)dx= 1.

— CO

Należy zwrócić uwagę, że gęstość nie musi być określona jednoznacznie, ponieważ można w dowolny sposób ustalić jej wartość w skończonej liczbie