111

111

7.2. Parametry rozkładów dwuwymiarowych

Zadanie 7.2.10.

Funkcja gęstości zmiennej losowej (X,y) jest postaci:

.    (2 dla 0 < x < 1, x/3 ^ y ^ 2jc/3 +1/3,

f(x,y) = < .

[0 poza tym.

Wyznaczyć prostą regresji zmiennej losowej Y względem X.

Zadanie 7.2.11.

Niech Z_i będą dla i = 1,2 niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie: ?t(Z_i = k) = 1/3 dla k = —1,0,1. Określmy zmienne losowe X — Z, + Z₂ oraz Y = Zj -Z₂.

a)    Znaleźć rozkład łączny wektora (X,y).

b)    Czy zmienne X i Y są niezależne?

c)    Znaleźć regresje pierwszego rodzaju.

d)    Znaleźć regresje drugiego rodzaju.

Zadanie 7.2.12.

Niech S będzie kołem o środku w początku układu i promieniu równym 1. Wektor losowy (X,Y) ma gęstość

f(x,y)

- dla (x,y) <5 S, 71

0 dla (*,y) ^ S.

a)    Obliczyć kowariancję Cov(X,K).

b)    Obliczyć współczynnik korelacji p = p(X,Y).

c)    Znaleźć proste regresji.

d)    Wyznaczyć krzywe regresji pierwszego rodzaju.

Zadanie 7.2.13.

Niech S będzie trójkątem ograniczonym prostymi y = — x, y = x i y = 1. Wektor losowy (X,y) ma gęstość

1 dla (x,y) € S, 0 dla (x,y) £ S.

a)    Obliczyć kowariancję Cov(X,y).

b)    Obliczyć współczynnik korelacji p = p(X,Y).

c)    Znaleźć proste regresji.

d)    Wyznaczyć krzywe regresji pierwszego rodzaju.