107

107

1.3. Parametry rozkładów dwuwymiarowych

Twierdzenie 7.3.1.

(i)    IpIO,

(ii)    jeżeli X i Y są niezależne, to p(X,Y) = 0,

(iii) jp | = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a ^ 0 i b takie, że

Pr(Y = aX + b) = \.    (7.3.4)

Własność wyrażoną wzorem (7.3.4) można sformułować następująco: zmienne losowe mają współczynnik korelacji równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest liniową funkcją drugiej.

Zmienne losowe nie skorelowane

Jeżeli współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y jest równy zeru, to mówimy, że są one nie skorelowane.

Dla zależnych zmiennych losowych dla obliczenia wariancji sumy, nie można stosować wzoru (2.2.12) z twierdzenia 2.2.5. W tym przypadku trzeba skorzystać z następującego wyniku.

Twierdzenie 7.3.2.

Jeżeli istnieją wariancje zmiennych losowych X), X₂,..., X_n, to

n

D²(X₁+X₂ + ---+X„) = ^D²X_i + 2 J2 Cov(x,.,X.).    (7.3.5)

/=1

Stąd mamy wniosek, w którym założenia do wzoru (2.2.12) zostały osłabione, tzn. niezależność została zastąpiona brakiem korelacji.

Wniosek 7.3.2.

Jeżeli zmienne losowe X_l5X₂,... ,X_n mają skończone wariancje i są nieskore-lowane, to

D² (X| 4- X₂ 4" ■ • ■ ~bX_n) — D²Xj + D²X₂ -b • * • + D²X_n.

Przykład. Niech gęstość będzie dana wzorem (7.2.3). Obliczymy teraz kowariancję i współczynnik korelacji.

1

1— X

E(XY) = 2 J

V

xydxdy — 2 dx / xydy ~

1

12'

o o

Ponieważ (łatwo to obliczyć) EX — ET = 1 /3 oraz D²X — D²Y = 1/18, to ze wzoru (7.3.2) wynika, że Cov(X,y) = —1/36. Stąd i ze wzoru (7.3.3) obliczamy współczynnik korelacji p = —1/2. Ponadto, ze wzoru (7.3.5) otrzymujemy D² (X + y) = D²X + D²y + 2Cov(X, y) = 2/18 - 2/36 — 1/18.