105

105

73. Parametry rozkładów dwuwymiarowych

Korzystając ze wzoru (7.2.7) wyznaczamy zaś regresję pierwszego rodzaju

2

y

>

dla y G [0,1] oraz m_x (y) = 0 dla y £ [0,1],

7.2.4. Zadania

7.2.1. Niech T będzie obszarem ograniczonym prostymi jc = 0, y = x i y = 2 — x. Ponadto niech

A dla (x,y) 6 T, 0 dla (x,y)tT.

Wyznaczyć A tak, aby funkcja / była gęstością dwuwymiarowego wektora losowego (X,y). Obliczyć rozkłady brzegowe i warunkowe oraz regresje pierwszego rodzaju.

7.2.2.    Na odcinku [0,1] umieszczamy losowo dwa punkty u i v. Niech X — \u — v| oraz Y = u. Znaleźć rozkład łączny (X,P), jego dystrybuantę oraz gęstość. Obliczyć m₂(x).

7.2.3.    Niech

f(x,y)

Ae (^ax+Py) dla x > 0 i y > 0,

0    w pozostałych punktach.

Czy istnieje stała A taka, że / jest gęstością wektora losowego (X,P)? Jeśli tak, to znaleźć rozkłady brzegowe.

7.2.4. Niech Z- będą dla i = 1,2 niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie: Pr(Z_/ = k) — 1 /3 dla k — —1,0,1. Określmy zmienne losowe X = Z_{3-Z₂ oraz Y = Z_{ — Z₂. Znaleźć rozkład łączny wektora (X,K). Czy zmienne X i Y są niezależne? Obliczyć regresje pierwszego rodzaju.

7.3. Parametry rozkładów dwuwymiarowych

7.3.1. Kowariancja i współczynnik korelacji

Korelacja jest jednym z najczęściej spotykanych terminów w statystycznym opisie zjawisk. Aby ją sprecyzować, trzeba najpierw wprowadzić pojęcie kowariancji zmiennych losowych, a jeszcze wcześniej określić wartość oczekiwaną funkcji zmiennych losowych. W tym celu sformułujemy następujący fakt.