TOB06

Obliczamy pierwiastki równania

s² + lOOOs + 10⁵ = 0

stąd

Si = — 112,5; s₂ = — 887,5 Korzystamy ze wzoru Heaviside’a

N'(s) = (s - s₂) + (s - Si)

N'(si) = sj - s₂ = 775

W'(s₂) = ^s2 ~ ^si = ~⁷⁷⁵

z&tcni

i(t) = (0,26e^_112,5t - 0,26e-⁸⁸⁷'^5t) A Napięcie na rezystorze

u_R(t) = R i(t) = (260e^-112,5t - 260e-*⁸⁷’^5t) V Napięcie na cewce obliczamy z zależności

«_L(t) =    = (229e^_887,5t - 29e^_U2’⁵‘) V

Napięcie na kondensatorze w postaci operatorowej

^uc{s) = ^-I(s) + ^p-

Ponieważ u_c(0^-) = u_c(0⁺) = 0, zatem

200 10⁵

U_c(s) =

2-10⁷

(s + 112,5) (s + 887,5) s s (s + 112,5) (s + 887,5)

Ze względu na to, że jeden pierwiastek jest zerowy, korzystamy z drugiej postaci wzoru Heaviside’a

_{Ucit) =} m₊yJ^L_es,

^cU M(0) ⁺ !~₂ s_kM'(s_k)

Zatem

u_c(t) = (200 + 29e~^887,5t - 229 e"¹¹²-⁵') V Sprawdzamy warunek początkowy dla t = 0

«_c(0⁺) = 200 + 29 - 229 = 0 V w_Ł(0⁺) = 229 — 29 = 200 V u_R(0⁺) = 260 - 260 = 0 V

W chwili t = 0⁺, tuż po komutacji, powstaje napięcie na cewce równe 200 V i równoważy napięcie przyłożone E — 200 V.

5.9. Do obwodu jak na rys. 5.9 (transformator powietrzny) przyłożono w chwili t = 0 napięcie E. Obliczyć prądy ij(t) oraz i₂(t) w stanie nieustalonym. Warunki początkowe zerowe. Dane: E = 10 V; R_t = R₂ = 1 Q; L_; = 2 H; L₂ = 3 H; M = 1 H.

Rozwiązanie. Układamy równania dla oczek zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa

E — Rj jj(t) + Li

dii (0 dt

-M

dMO

dt

0 — R₂ i₂(t) + L₂

d i₂(t) dt

M

d»i (t) dt

Stosujemy przekształcenie Laplace’a E

— = Ri h(s) + sLi Ii(s) — Li ii(0⁺) — sM/₂(s) + Mi₂(0⁺)

0 = R₂ I₂(s) + s L₂ I₂(s) - L₂ i₂(0⁺) - s M IM + M ^(0+j

Zgodnie z założeniem i^O") = 0; i₂(0") = 0, zatem ii(0⁺) = 0; i₂(0⁺) = 0, wobec tego

y = (l+2 s)li(s)-sl₂(s)

0 = (1 + 3s)/!(s) - sli(s)

stąd

. _M__6s + 2

^lW s(s² + s + 0,2)

s² + s + 0,2 = 0, stąd S! = —0,72, s₂ = —0,28

h (5) =

6 s “1“ 2

s (s + 0,72) (s +0,28)