DSCF2512

80 4, Pojęcie i pewne własności prawdopodobieństwa

(U),	(1,2),	nj).	0,4),	(1,5),	(1,6)
(2,1),	(2,2),	(2,3),	(2,4),	(2,5),	(2,6)
(3,1),	(3,2),	(3,3),	(3,4),	(3,5),	(3,6)
(4,1),	(4,2),	(4,3),	(4.4),	(4,5),	(4,6)
(5,1),	(5,2),	(5,3),	(5,4),	(5,5),	(5,6)
(6,1),	(6,2),	(6,3),	(6,4),	(6,5),	(6,6)

Zbiór AB składa się z następujących zdarzeń elementarnych:

(1,2),    (1,4),    (1,6),    (2,1),    (4,1),    (6,1).

Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, mamy

P(A-B)=^.

Zbiór >4 + £ składa się z 23 następujących zdarzeń elementarnych:

(1.1) , (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1),

(5.1) , (6,1), (3,2), (5,2), (2,3), (4,3), (6,3), (3,4), (5,4),

(2,5), (4,5), (6,5), (3,6), (5,6). Wobec tego

P(A + &) = $.

Można ponadto zauważyć, że A-BcA+B i P(A-B)<P(A+B).

Zbiór A li składa się z 12 następujących zdarzeń elementarnych: (3,2), (5,2), (2,3), (4,3), (6,3), (3,4), (5,4), (2,5), (4,5), (6,5), (3,6), (5,6). Przeto

Spostrzegamy, że A BcA+B oraz P(A B)<P(A+B).

Przykład 4.1.3. Dokonujemy trzech rzutów monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo:

1)    zdarzenia A, polegającego na tym, że orzeł pojawi się dwa razy;

2) zdarzenia B, polegającego na tym, że orzeł pojawi się co najmniej dwa razy;

3) zdarzenia C, polegającego na tym, że orzeł pojawi się co najwyżej dwa razy. Rozwiązanie. Zbiór podstawowy / jest następujący:

000, OOP, ORO, ROO, RRR, ORR, ROR, RRO.

1)    Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: 00R, ORO, ROO, czyli

PM-1

2)    Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B jest następujący: OOO, 00/?, OT?0, /?00, czyli

BM3

3) Zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzenia C jest następujący: 00/?, ORO, ROO, RRR, ORR, ROR, RRO, czyli

p<o=4.

Przykład 4.1.4. Wybieramy jedną z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, a następnie z pozostałych — drugą. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że

1) za pierwszym razem; 2) za drugim razem; 3) obydwa razy będzie wybrana nieparzysta cyfra.

Rozwiązanie. Zbiór podstawowy jest następujący:

(1,2),	(1,3),	(1,4),	(1,5),
(2,1),	(2,3),	(2,4),	(2,5),
(3,1),	(3,2),	(3,4),	(3,5),
(4,1),	(4,2),	(4,3),	(4,5),
(5,1),	(5,2),	(5,3),	(5,4).

Zakładamy, że każde ze zdarzeń elementarnych jest jednakowo możliwe (cyfry wybieramy losowo).

Oznaczmy przez A, B, C zbiory zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia wymienionego odpowiednio w punktach 1, 2, 3.

Zbiór A składa się ze zdarzeń elementarnych:

(U),	(1,3),	(1,4),	0,5),
(3,1),	(3,2),	(3,4),	(3,5),
(5,1),	(5,2),	(5,3),	(5,4),
	PW='ło	=0,6.

Zbiór B składa się ze zdarzeń elementarnych: (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,5),

(4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,3), czyli

P(*)=|§=0,6.

Z treści zadania wynika, że zdarzenie C polega na łącznym zajściu zdarzeń A i B.

Zbiór C składa się ze zdarzeń elementarnych: (1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3), to znaczy ze zdarzeń elementarnych wspólnych zdarzeniom A i B. Mamy zatem

/’(O = PU-B)=Ś5=0,3.

Przykład 4.1.5. Fabryka produkuje towar sztukowy: 3 razy tyle białego co czarnego, a 5 razy tyle białego co niebieskiego. Jakie jest prawdopodobieństwo p tego, że biorąc sztukę losowo, otrzyma się sztukę czarną?

Rozwiązanie. Ilość czarnego towaru oznaczmy przez x. Wtedy białego towaru będzie 3x, a niebieskiego §x. Wszystkiego towaru jest więc “x. Stąd szukane prawdopodobieństwo jest równe

x

. j_ 23

0,217.

8 Kombtaatoryka ...