koĹ'o zesz3

KOLOKWIUM z RACH. PRAWD. 2009₂₂._w«

Zadanie 1

W pierwszej urnie są 4 kule białe i 8 czarnych, a w drugiej urnie są 2 białe i 6 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką. Losujemy dwukrotnie z urn w ten sposób, że jeżeli wypadną 3 lub mniej oczek, to losujemy kulę z urny pierwszej; w przeciwnym razie losujemy z urny drugiej. Kule wylosowane nie są zwracane do urn i rzucamy kostką przed każdym ciągnięciem aby ustalić urnę.

Jakie jest prawdopodobieństwo że w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą jeżeli w drugim losowaniu wylosowano kulę czarną?

Zadanie 2

Zdefiniować dystrybuantę zmiennej losowej a następnie podać i udowodnić jej własności.

Zadanie 3

Z odcinka [0,1] wybieramy losowo liczby x i y. Jakie jest prawdopodobieństwo, że należą one do dziedziny funkcji f{x,y) = \fx⁷ - y + 0.2 ?

Zadanie 4

Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
	0	dla	<<2,
Fx(t) = •	t 20	dla	2 < t < 4,
	^1 ■ «v	dla	4 < t.

Oblicz E(X), używając formuł

(a) E(X)= / tdF_x(t),

[0.o°l

(b)    £W = /(1-F_x(x)]dx.

o

Zadanie 5

W urnie jest k kopert pustych i n zawierających po 100$ . Do urny podchodzą kolejno uczestnicy loterii i wybierają (bez podglądania) jedną kopertę. Wyprowadź wzór na prawdopodobieństwo pj wygrania przez j tego (gdzie 1 < 3 < k + n) uczestnika loterii 100$.

Zadanie 6

Sformułować twierdzenie Fubiniego.