koĹ'o zesz4

KOLOKWIUM z RACII. PRAWD. 2OO9_O7_M0

Zadanie 1

W pierwszej urnie są 3 kule białe i 9 czarnych, a w drugiej urnie są 4 białe i 8 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką. Losujemy dwukrotnie z urn w ten sposób, że jeżeli wypadną 2 lub mniej oczek, to losujemy kulę z urny pierwszej; w przeciwnym razie losujemy z urny drugiej. Kule wylosowane nie są zwracane do urn i rzucamy kostką przed każdym ciągnięciem, aby ustalić urnę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, jeżeli w drugim losowaniu wylosowano kulę czarną?

Uwaga: Wystarczy rozpisać P(/?i|C₂) = jakieś' S • P^rosz§ nie tracić czasu na rachunki doprowadzające do wyniku liczbowego.

Zadanie 2

Zdefiniować przestrzeń probabilistyczną i udowodnić jej podstawowe własności.

Zadanie 3

Zuza i Karol umawiają się w kawiarni pomiędzy 15⁰⁰ i 16⁰⁰. Przychodzą na spotkanie niezależnie od siebie i losowo, i ponadto nie czekają na siebie dłużej niżeli 6 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do spotkania dojdzie?

Zadanie 4

Zdefiniować wariancję zmiennej losowej i udowodnić jej podstawowe własności.

Zadanie 5

Dystrybuanta zmiennej losowej X podana jest formulą

F\{x) = < x - 0.2

dla    0 < x    < 0.5,

dla    0.5 <    t < 0.8

dla    0.8 <    x.

Narysuj dystrybuantę. Oblicz wartość oczekiwaną E{X). Czy zmienna losowa X jest absolutnie ciągła? Jeżeli tak, to znajdź jej gęstość.

Zadanie 6

Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę F_x{t) = l² dla 0 < t < 1. Znajdź (i narysuj) dystrybuantę zmiennej losowej Y = min{.7, A'}.

6