koĹ'o zesz2

KOLOKWIUM z RACH. PRAWD. 2OO9₂₂₀ed

Zadanie 1

W pierwszej urnie są 3 kulo białe i 9 czarnych, a w drugiej urnie są 4 białe i 8 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką. Losujemy dwukrotnie z urn w ten sposób, że jeżeli wypadną 2 lub mniej oczek, to losujemy kulę z urny pierwszej; w przeciwnym razie losujemy z urny drugiej. Kule wylosowane nie są zwracane do urn i rzucamy kostką przed każdym ciągnięciem aby ustalić urnę.

Jakie jest prawdopodobieństwo że w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą jeżeli w drugim losowaniu wylosowano kulę czarną?

Zadanie 2

Sformułować i udowodnić lematy Borela-Cantellego.

Zadanie 3

Z kwadratu [0,1] x [0,1] wybrano losowo punkt (x,y). Znaleźć prawdopodobieństwo, że x + y < 1 i xy > 0.09.

Zadanie 4

Zdefiniować wariancję zmiennej losowej i udowodnić jej podstawowe własności.

Zadanie 5

Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1], tzn.

z-*—co

Niech teraz F : 3 -> R będzie funkcją ściśle rosnącą, ciągłą i spełniającą lim F(x) = 0 oraz lim F(x) = 1. Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej

Y(u) =

Zadanie 6

Niech zmienna losowa X : (H, F, P) ma dystrybuantę F(t) = 0 dla t < 0, F(t) =    + t² dla 0 < t < j'7 i F(t) = 1 dla t > j. Znajdź dystrybuantę

zmiennej losowej X³.

I