10402391e6825057731830418715403595100336 n

28.05.2014

Kolokwium 2 A

Arkusz 1 - strony 1,2,3,4. Arkusz 2 - strony 5,6,7,8.

Zad.l (str.l i 2) 12p.

Dana jest operacja /l(x) = x x (a + b) , gdzie

a = 3e, + 2e₂ -e₃, b = 4e, + Ae₂ - 2c_y. Sprawdzić, czy jest to operacja liniowa, jeżeli tak to wyznaczyć macierz tej operacji, korzystając z obrazów wektorów bazowych.

Zad.2 (str.3 i 4) 12p.

"2 -1 -f

Dana jest operacja A o macierz)' w bazie fi = “1    4    —1 , której

-i -1    4

wartościami własnymi są między innymi 1 oraz 5, ponadto jednym z wektorów

własnych jest

.Wyznaczyć bazę ortonormalną/T, w której macierz operacji

A jest macierzą diagonalną. Podać postać macierzy diagonalnej Ap.. Zad.3 (str.5 i 6) 14p.

Stosując metodę Fouriera separacji zmiennych , wyznaczyć niezerowe

/x i • • r . du    d²u

rozwiązanie u(x,t) spełniające równanie — = y—r- z warunkami

dl    dx

u(0,t) = 0 , m(3,/) = 0 , m(^,0) = ^(x).

Zad.4 (str.7) 12p .(2p.+6p.+4p.)

1.    Podać definicję operacji symetrycznej.

2.    Podać i udowodnić twierdzenie o wektorach własnych operacji symetrycznej , odpowiadających różnym wartościom własnym.

3.    Podać własność macierzy ortogonalnej dotyczącąjej kolumn i zapisać ją korzystając z umowy sumacyjnej Einsteina.