82294

6.2 Granica funkcji

Niech dane będą: zbiór A CTlⁿ , funkcja / : A—* Tli Po-punkt skupienia zbioru A. Definicja 6.9 (Granicy funkcji w sensie Heinego)

Liczbę g € Tl nazywamy granicą w sensie Heinego funkcji / w punkcie Po . jeżeli (V {P*} C A, P_k * Po). lim P_k = Po =* lim f(P_k) = 9

K—oc    U—oc

Definicja 6.10 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego )

Liczbę g € Tl nazywamy granicą w sensie Caucliy’ego funkcji / w punkcie P₀ . jeżeli

(Ve > 0) (3 6{e. P₀) > 0) (VP <E A) (0 < d{P. P₀) < 6 =► |/(P) -    < e]

Uwaga 6.5 Liczba g € Tl jest granicą funkcji tu sensie Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem ^lim f(x) = g .

Przykład 6.1 Wykazać, że lim    -₃ =0

'W

Przykład 6.2 Wykazać, że nie istnieje granica lim    —^!L-

(x.y)-(0.0) *+*

6.3 Ciągłość funkcji

Rozpatrujemy funkcję / : A *-» Tl. gdzie A C Tlⁿ oraz Po -punkt skupienia zbioru ^4. Definicja 6.11 ( Ciągłości funkcji w punkcie)

Funkcja f jest ciągła w punkcie Po . jeżeli istnieje granica \iin_f f{P) oraz

Jhn /(P) = /(P₀)

Ustalmy n=2 i rozpatrzmy funkcję z = }{x. y).

Jeżeli ustalimy xo (takie, że (xo. y) G A), to otrzymamy funkcję jednej zmiennej g(y) = /(xo,y), podobnie dla ustalonego j/o mamy /(x, yo) = h{x).

Twierdzenie 6.1

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie (xo. }/o). to funkcje g(y) = f(xa,y) i h(x) = / (x, yo) są ciągle.

Uwaga 6.6 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Przykład 6.3 Funkcja

y) =

(*,y)*(0.0) (x,j/) = (0,0)

{

nie jest ciągła w punkcie Po = (0.0). ponieważ dla dwóch ciągów ^    zbież

nych do Po otrzymujemy różne granice ciągów wartości funkcji.

Natomiast funkcje stale: f{0.y) =    = 0. /(x. 0) =    = 0 są ciągle w (0.0).

37