0019

20

Liczby rzeczywiste

Niech dane będą dwie liczby rzeczywiste a i /?. Rozważmy liczby wymierne a, d i b, b', spełniające nierówności

(1)    a«x<a’ i b</}<b’.

Sumą a+fi liczb a i /? nazywamy taką liczbę rzeczywistą y, która zawiera się pomiędzy wszystkimi sumami postaci a+b z jednej strony, a wszystkimi sumami postaci a!+b' — z drugiej strony:

(2)    a + b<y<a' + b'.

Przekonajmy się przede wszystkim, że taka liczba y istnieje dla dowolnej pary liczb rzeczywistych a, fS.

Rozważmy zbiór wszystkich możliwych sum a+b. Zbiór ten jest ograniczony z góry, np. dowolną sumą postaci a'+b'. Przyjmijmy (ustęp 11)

y = sup {a + b}.

Wówczas a+b^y, a jednocześnie y^a'+b'.

Ponieważ przy dowolnych liczbach wymiernych a, b, a', b', spełniających warunki (1), można zawsze liczby a, b zwiększyć, a liczby a', b' pomniejszyć z zachowaniem tych warunków, więc właśnie otrzymane nierówności są ostre, tj. nigdzie nie może być równości. Tak więc liczba y spełnia definicję sumy.

Powstaje jednak pytanie, czy suma y=a.+fi jest wyznaczona przez nierówności (2) jednoznacznie. Aby przekonać się o jednoznaczności sumy, dobieramy zgodnie z uwagą z ustępu 9 liczby wymierne a, a', b, b' tak, żeby było

a' — a<e,    b' — b<e,

gdzie e jest dowolnie małą liczbą dodatnią wymierną. Mamy stąd (a' + b') - (a + b)=(a' - a)+(b' -b)< 2e,

tj. i ta różnica może być uczyniona dowolnie małą (‘). A więc, na podstawie lematu 2, istnieje dokładnie jedna liczba zawarta pomiędzy sumami a+b i a' + b'.

Zauważmy ponadto, że jeżeli obie liczby a i j8 są wymierne, to ich zwykła suma y=a+f} spełnia oczywiście nierówności (2). Tak więc podana powyżej ogólna definicja sumy dwóch liczb rzeczywistych jest zgodna ze starą definicją sumy dwóch liczb wymiernych.

13. Własności samy. Łatwo przekonać się, że dla liczb rzeczywistych zachowują się własności:

II. 1° a+/?=/?+a,

II . 2° (x+f}) + y=a+(Jj+y),

H. 3° a+0=a. ¹

1

Liczba le jest mniejsza od dowolnej liczby e'>0, jeśli przyjąć e<łe'.