28187

Granica funkcji

Oznaczenie S(xo) = 5(xq, r) dla pewnego r > 0

Definicja 1. Niech zo € R oraz niech funkcja f będzie funkcją określoną przynajmniej na sąsiedzkie 5(xo, r) dla pewnego r > 0. Liczba y jest granicą właściwą funkcji f w punkcie zo. co zapisujemy

Jim /(*) = 9-

*—*o

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu punktów (x„) z sąsiedztwa 5(xo,r) zbieżnego do x₀ mamy:

lim /(x„) = y.

fl—OC

(iranica prawostronna, lewostronna

Uwaga Jeśli w powyższej definicji zamienimy „5(xo, r)" na sąsiedztwo prawostronne punktu xo

5⁺(x₀) = (x₀,x₀ + r)

dla pewnego r > 0”, to otrzymamy definicję granicy prawostronnej w funkcji / w punkcie xo; granica lewostronna funkcji / może być określona w analogiczny sposób. Obrazowo: funkcja / ma w punkcie x₀ granicę właściwą y. gdy jej wartości odpowiadają argumentom dążącym do punktu x₀ (i różnym od lego punktu) dążą do liczby

9-

Podana przez nas definicja granicy funkcji w punkcie została sformułowana przez E. Heinego (1821-1881).

Przykład

Uzasadnić, że

Um(2x — 7) = 1.

x—4

Rozwiązanie. Niech (x„) będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunki: {x_n} C 5(1) oraz

lim x_n = 4.

n—*oo

Wtedy

lim (2x„ — 7) = 2 • ( lim x_n) — lun 7 = 2 • 4 — 7 = 1.

Granica właściwa w oc—nieformalnie

Obrazowo: funkcja / ma w oc granicę właściwą y. jeżeli jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do oc dążą do granicy y. Zamiast równości

lim f(x) = g X—»oc

stosowany jest też zapis /(x) —* y, gdy x —* oc albo /(oo) = y.

Uwaga. Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w -oc jest podobna do poprzedniej.

Przykład Można pokazać, że

lim -- = 0.

X—!X> X + 3

2