img036

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

W rezultacie

r	xdx	• xdx	i r	dx	1 r dx	1		dx	lr dx
J x^5+x^4-2x^3-2*^2+x+1 .		(x-l)^2(*+l)^3 Si		(*-!)*	16J x-l	4.	W		lóJ x+l
1	2 -lnic ll-	„ ~2	-L. lnl v- -L 11	1	x^2 +x+2		1	J^X + 1
16	JC-1 ^ ' V		• IIIJA « 1	J" 8	[x-lX*+!)^3	•	16	Vi

■ 4x +4x³ + 16x² +12*+8

3.7. Aby obliczyć całkę

dx,

r 4x⁴

•*    (*+l)²(*² + l)

rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:

B    Cx + D Ex+F

+-+-=- +

(x + l)²(x² + l)²

4x⁴+4x³+16x²+12x + 8    A

(* + l)²(*²+l)    (* + l) ^x+l (x²+l)    ‘+1

4x² + 4x³ +16x² + 12x+ 8 = a[x² +1)' +B(x+l)[x²+lf +(Cx+ D)(x + 1)² + +(£r+F)(*+1)² (a:² +1) =    + 2;t² +1) + Z?(;r⁵ + *“ + 2*³ + 2 jc² + ;<: +1) +

+(Cx+D)[x²+ 2x+l}+(Ex+F)[x*+ 2x³ + 2x² +2x+lj.

Stąd

= 0 =    4

=    4

B + E

A+B+2E+F 2B + C+2E+2F

2ył + 2# + 2C + £>+2£+2F = 16 B + C+2D+E+2F    = 12

A+B+D+F    - 8

A    =    3    (stałą A    można

wyznaczyć meto-°    ⁼    ®    dą przesłaniania)

C    =    2

D    =    4

E    =    0

F    =    1

i dlatego

dx i³-⁷)

r4x + 4;r+16at+12x+8^_ dx r 2xdx ₊ ^r dx r ^    (*+l)²(;c²+l)²    (-*-¹-¹)^{2 ,2}(*² + l)²    (*²+lf

V

■4xⁱ+4x^J+16xⁱ+12x+8

^3 1 m[	'1 X
x + l x^2 +1 A	^2 x^2 +1

+—arctgr J + arctgr

+ 3arctgr + C.

x²+l X¹ +x-4

(x + l)(*² +l)

Całkowanie funkcji wymiernych przez wyodrębnienie części wymiernej

Pisaliśmy już, iż duży kłopot w wyznaczaniu całek z funkcji wymiernych stanowi sam problem rozkładu mianownika na czynniki liniowe lub kwadratowe z wyróżnikiem ujemnym. Należy szczerze powiedzieć, iż w wielu zadaniach jest on wprost nie do przebrnięcia. Pomi-

36