MAT02

2

I Całka nieoznaczona

1. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

Def. Funkcja wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tzn. funkcje określoną wzorem

R(.v) =

lV_m(x)

gdzie W/ i W_m oznaczają wielomiany stopnia odpowiednio / i m zmiennej rzeczywistej x.

Def. Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne specjalnej postaci, a mianowicie

A

(ax + b)

—, gdy <r/^0    (ułamek prosty I. rodzaju).

-⁺ ^, gdy A = b² - 4ac < 0 (ułamek prosty II. rodzaju).

(ax~ +bx + c)

gdzie A.B oraz a.b.c sa stałymi (A.B.a.b.c e R). n zaś jest liczbą naturalną (n e N).

Tw. Każdą funkcje wymierną, w której stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianowika można przedstawić jako sumą skończonej liczby ułamków prostych.

Przykłady

^    Zy³-.y²-4.y-3 _

xⁱ+lx¹+9

a⁴ + 2a² + 9 = (,v⁴ + 6.v² + 9) + 2a² - 6a² = (.v² + 3)² - (2a)² = (.v² + 2x + 3)(.v² + 2x - 3)

₌    2-t^;-jr—i.x-3    _ Ax+B , Cx+D I./..4 , ?_Y2 . O¹) _

(.y²+2.y+3)(.y²-1y+3)    .y²+2x+3    ,y²-1y+3 ^{1 V}'    '

A°4-I2<0    A=4-I2<0

Uwaga. Dwa wielomiany są równe, jeśli współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej niezależnej są równe.

2a³ - A-² + 4a - 3 = (Ax + B)(x² + 2.v + 3) + (Ca + D)(x² - 2a + 3)

A"

A + C = 2

-2A + B + 2C+D = -1 3A - 2B + 3C + 2D = 4 3B + 3D = 3

w

>

A = \ B = 1 C = -i-0=0

1    3.v+2    , J__x

2 ,r^:-2

2.

2 ,y²+1y+3

4,y²-3.y-I 1___A    B

x--2x+S A

(lt-1 )(1y+3)(2.y-5)

<zdl_ = _d— ₊ -Ł- + —L—\.(2x — I )(2a + 3)(2a - 5) =

3)(2.y-5) Zr-1 2.y-3    2.Y-S ¹ ^    '^v    '

4a² - 3a - 11 = A(2x + 3)(2a - 5) + B(2x - 1 )(2jc - 5) + C(2a - 1 )(2a + 3)

Metoda przesłaniania

(,v= w = i§.)

= JL (Jś— + _L_ + _Li_A

64 V 2-y- I Zy-3 Zy-5 J '

z^x:~^3x+\ = ²-^<2-³*:³ = 4 + —i^B— + -S-|*a(a - i )² =

,y(.y²-Zy+1)    ,y(.y-1 )^2    x (.Y-I)²    x-\ ^{1 v    /}

1y²-3.y+3 _    Zy²-3.y+3

r^J-2v

2a² - 3a + 3 = A(x - 1 )² + Bx + Cx(x - 1)

A + C = 2 -2.4 + 5 - C = -3 zł = 3

_vo

/ł = 3    (dla a = 0)

> => 5 = 2    (dla a = 1)

C= -1

Opracował: Marian Malec

3.