img007

I. ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNYCH NA UŁAMKI PROSTE

Definicja 1.1

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, (zn. funkcję określoną wzorem:

(1.1)    *(x) = -ffi- ,

K(*)

gdzie W_s i W_m oznaczają wielomiany stopnia odpowiednio / i m zmiennej rzeczywistej x. Dodajmy, iż

dziedziną funkcji wymiernej określonej wzorem (1.1) jest zawsze cała oś rzeczywista R z wyłączeniem tych punktów, w których zeruje się mianownik W_m (inaczej: z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika WJ.

Możemy więc napisać:

(1.2)    D^=R\KemW_m

gińcKem W_m:={xeR: W_m(x)=Q} jest zbiorem zwanym jądrem odwzorowania W_m.

Definicja 1.2

Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne specjalnej postaci, a mianowicie:

(1.3)    -—-» gdy a * 0 (ułamek prosty I. rodzaju),

(ax + h)"

Ax+B    i

(1.4)    -— , gdy A:= h -4ac < 0 (ułamek prosty II. rodzaju),

(ox² + ix+c)

gdzie A, B oraz a, b, c są stałymi (A, B, a, b, c e R), n zaś jest liczbą naturalną (ne N).

Możemy więc powiedzieć, że ułamek prosty 1. rodzaju jest to iloraz funkcji stałej przez funkcję liniową w pewnej potędze, zaś ułamek prosty II. rodzaju jest to iloraz funkcji liniowej, która może być w szczególności funkcją stałą, przezfunkcję kwadratową (trójmian kwadratowy) z wyróżnikiem ujemnym (A < 0) w pewnej potędze.

Uwaga 1.1

Jeśli funkcja wymierna ma postać

|ax² +bx+cj

ale wyróżnik A = b¹-dac jest większy lub równy zero (A > 0), to funkcja (1.5) nie jest ułamkiem prostym II. rodzaju.

Twierdzenie 1.1

Każdą funkcję wymierną, w której stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianownika, można przedstawić jako sumę skończonej liczby ułamków prostych I. lub II. rodzaju.

7