112011

Funkcje wymierne.

Funkcją wymierną nazywamy iloraz U/W dwóch wielomianów U oraz W. Dziedziną funkcji wymiernej U/W jest różnica mnogościowa zbioru R (wszystkich liczb rzeczywistych) i zbioru zer wielomianu W.

Na przykład funkcja

, _ x²-S

* ~V-7x+10

jest \yymierna i dziedziną jej jest zbiór R\{2,5}, czyli zbiór jaki otrzymamy, jeżeli ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych usuniemy liczby 2 i 5, co notujemy też w postaci x* 2 oraz x* 5.

Suma skończonej liczby funkcji wymiernych jest funkcją wymienią.

x + 8    11    ...

Równanie typu —₄ ^ ^₊ ^    \ ₊ ^ ₊ ^ = - nazywamy wymiernym, jeżeli

występujące w nim funkcje f i g są wymierne.

Metody rozwiązywania. Z grubsza biorąc główna metoda rozwiązywania takich równań polega na mnożeniu obu stron równania wymiernego przez taki wielomian, że po wymnożeniu otrzymamy już równanie algebraiczne. Jeżeli obie strony równania są napisane jako sumy ilorazów wielomianów, to wielomianem takim jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) mianowników występujących ułamków. Otrzymane równanie algebraiczne jest równoważne równaniu wyjściowemu w dziedzinie równania wyjściowego. Przykład, rozwiązać równanie:

2X4-1

X — 1

x + 2 x —2

(a)

Rozwiązanie. Dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające warunek:

(b)    x*lorazx*2

Po pomnożeniu obu stron równania (a) przez wielomian (x-lXx-2)

otrzymujemy:

(ai)    (2x+1 Xx-2 )=(x-1 )(x+2) skąd po wymnożeniu u redukcji:

(a.>)    x² - 4x = 0

Równanie (a?) ma 2 rozwiązania:

(c)

Xi=0,    X2=4

2