0124

125

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

Oczywiste jest także, że i iloraz dwóch wielomianów (funkcja wymierna):

a₀x +£jjx" ¹ + ... + a_n_ j x + a_n b₀x^m + b_lx^m 1 +... + b_m_, x + b_m

również jest funkcją ciągłą przy każdym x, poza tymi, dla których mianownik równa się zeru.

2° Funkcja wykładnicza. Udowodnimy ciągłość funkcji wykładniczej a^x przy dowolnym x=x₀, innymi słowami, stwierdzimy, że

lim a^x = a^xo

X~*XQ

(przy tym wystarcza ograniczyć się do założenia: a> 1).

Widzieliśmy w ustępie 54, 6), że

lim a^x= 1.

*-o

Ponieważ 1 jest właśnie wartością a° rozważanej funkcji, więc równość ta wyraża ciągłość funkcji wykładniczej w punkcie x=0. Łatwo już przejść stąd do dowolnego punktu; rzeczywiście,

fl^x-a^X0 = fl*°(a^x_J[0-l),

ale przy x->x₀ jest oczywiście x—x_o->0, więc w myśl już udowodnionego twierdzenia

a^x~^xo-> 1 i a^x->a^x°,

cnd.

3° Funkcje hiperboliczne. Ciągłość tych funkcji w myśl już wspomnianego twierdzenia wynika bezpośrednio z udowodnionej już ciągłości funkcji wykładniczej, bo wszystkie funkcje hiperboliczne wyrażają się wymiernie przez funkcję e^x.

4° Funkcje trygonometryczne. Zacznijmy od funkcji sin x. Jest ona także ciągła przy dowolnym x=x₀, tj. zachodzi równość

lim sinx = sinx₀.

X-*Xo

Dla dowodu zauważmy, że z nierówności

sin x < x,

ustalonej w ustępie 54 (9) dla 0<x<i7i, łatwo wyprowadzić, że nierówność

|sinx|<|x|

jest słuszna już dla wszystkich x (dla \x\^\n> \ wynika to z faktu, że sin x|< 1). Dalej, mamy:

sin x — sin x₀ = 2 sin ^(x — x₀) cos ^(x + x₀),

czyli

|sinx —sinx₀| = 2- |sini(x-x₀)||cosi(x + x₀)|<2- |sini(x-x₀)|^2-i|(x-x₀)|,