0126

127

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

Dlatego, łatwo dać odpowiedź na pytanie, kiedy dla funkcji /(x) w punkcie x₀ pojawia się nieciągłość prawostronna. Może się zdarzyć, że chociaż skończona granica /(x_o + 0) istnieje, ale nie równa się wartości f(x₀); taką nieciągłość nazywamy zwyczajną, lub nieciągłością pierwszego rodzaju (*). Ale może być i tak, że granica/(x₀ +0) jest nieskończona, lub nie ma jej w ogóle; mówimy wówczas o nieciągłości drugiego rodzaju.

W następnym ustępie podamy przykłady takich nieciągłości.

Uwaga. Jeżeli w punkcie x = x₀ funkcja f(x) nie jest określona, (por. uwagę w 66), to ustalić ciągłość funkcji w tym punkcie można tylko wtedy, gdy istnieją obie granice skończone /(x₀ + 0), /(x₀ - 0) i są sobie równe.

Jeżeli którakolwiek z tych granic jest nieskończona, lub w ogóle nie istnieje, to mówimy o występowaniu nieciągłości drugiego rodzaju z odpowiedniej strony.

70. Przykłady funkcji nieciągłych. 1) Rozważmy funkcję y — [x] (której wykres przedstawiono na rys. 8). Jeżeli x₀ nie jest liczbą całkowitą, a [x₀] = m, tj. m<x₀<m +1, to również dla wszystkich wartości x z przedziału (m, m + l) jest [x] = m. czyli ciągłość funkcji w punkcie x₀ jest bezpośrednio jasna.

y^t
-I o	+7
-7

Rys. 28

Inaczej jest, gdy x₀ jest liczbą całkowitą m. Funkcja rozważana jest w tym punkcie prawostronnie ciągła, bo po prawej stronie m, tj. dla wartości x z przedziału (m, m + l) jest [x] = m, tak że [m+0] = = m= [m]. Natomiast na lewo od m dla wartości x z przedziału (m—1, m) jest oczywiście [x] = /n—1. W takim razie również [m—0]=m—1, co nie jest równe wartości funkcji [m], i funkcja rozważana w punkcie x=m ma lewostronną nieciągłość zwyczajną czyli i lewostronny skok!

2)    Rozważmy funkcję, określoną w ustępie 46:

x²"-l

y=/(x)= lim -sr—

n~» oo X tI

(jej wykres dany jest na rys. 28). Funkcja ta ma nieciągłości zwyczajne w punktach x= ±1 prawostronne i lewostronne, bo:

/(±D=0,    /(-l -0)=/(l+0)=l ,    /( —1+0)=/(l —0)= — 1 .

3)    Dla funkcji

/(x)=l (dlax*0)

x

(’) W tym przypadku mówimy także, że funkcja /(x) ma prawostronny skok w punkcie x₀, równy co do wielkości f(x_o+0)~f(x₀).