0130

131

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

5° Funkcja logarytmiczna: y = log_ax (a>0, a# 1). Ograniczając się do przypadku a> 1, widzimy, że funkcja ta rośnie przy zmianie x w przedziale SC = (0, +oo). Ponadto przyjmuje ona oczywiście dowolną wartość y z przedziału <& = (_ —co, + oo), a mianowicie dla x=a^y. Stąd jej ciągłość.

6° Funkcja potęgowa: y=x" (/t>0 lub /z < 0) przy wzroście x od 0 do -foo rośnie, jeżeli // > 0, a maleje, jeżeli p < 0. Przy tym funkcja ta przyjmuje dowolną wartość dodatnią y (dla x=y^1/M), a więc jest ciągła (^ł).

7° Funkcje cyklometryczne:

y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x.

Pierwsze dwie są ciągłe w przedziale < — 1, +1 >, a ostatnie dwie w przedziale (—oo, + oo). Dowód pozostawiamy czytelnikowi.

Podsumowując, można więc powiedzieć, że podstawowe funkcje elementarne są ciągłe we wszystkich punktach, w których są określone (tj. w odpowiednich naturalnych ich obszarach określoności).

73. Superpozycja funkcji ciągłych. Obszerniejszą klasę funkcji ciągłych można utworzyć za pomocą superpozycji funkcji [51], których ciągłość jest już znana.

Za podstawę służy tu następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Niech funkcja ę{y) będzie określona w przedziale <&, a funkcja f(x) w przedziale SC, przy czym wartości ostatniej funkcji mieszczą się w przedziale 9, gdy x zmienia się w SC. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ z 3C, a funkcja ę(y) jest ciągła w punkcie odpowiednim y₀=f(x₀) z SU, to również funkcja złożona ę(f(x)) jest ciągła w punkcie x₀.

Dowód. Niech dana będzie dowolna liczba £>0. Ponieważ funkcja cp(y) jest ciągła dla y=y₀, to dla e znajdziemy takie a> 0, że

z \y-yo\«¹ wynika \ę{y)-^(y₀)| <e -

Z drugiej strony, na podstawie ciągłości funkcji f(x) przy x=x₀ znajdziemy dla a takie d>0, że

z |x-x₀|<<5 wynika |/(x)-/(x₀)| = |/(x)-y₀|<<r.

Z samego wyboru liczby a wynika stąd, że

|<P(/(¹))-<p(yf)\ = \<P(/(¹))- ę>(/(x₀))|<£.

Tym samym w języku epsilonów i delt udowodniliśmy ciągłość funkcji <p(f (x)) w punkcie x₀.

9*

1

Jeżeli m>0, to wartość 0 należy do przedziału zmienności x i do przedziału zmienności y; przy ft<0 wartość 0 nie należy do tych przedziałów zmienności. Dalej, jeżeli n jest liczbą całkowitą ±n lub wymierną ±plq z mianownikiem nieparzystym, to potęgę x można rozważać także dla x<0; ciągłość funkcji dla tych wartości argumentu ustalamy analogicznie.