0134

135

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

3" Przejdźmy teraz do funkcji (d)    /(*)=*",

która oczywiście spełnia równanie funkcyjne

(D)    f(xy)=f(x)f(y)

(dla dowolnych dodatnich x i y), bo

(*>■)"-yy.

Równanie to wraz z ciągłością i w tym przypadku charakteryzuje funkcję potęgową jednoznacznie w tym sensie, że:

Jedyną funkcją określoną i ciągłą w przedziale (0,4 co) i spełniającą w nim warunek (D), jest funkcja potęgowa (ze zwykłym wyjątkiem).

Rzeczywiście, jeżeli dana funkcja f(x), ciągła dla x>0, spełnia warunek (D), to posłużmy się podstawieniem z 2°. Wówczas funkcja ip(f) spełnia warunek (por. (D)):

<p(i + g)=f(e^{t +} ’’)=f(eⁱe'’)=f(e^!)f(e'^,)-= ę(S) v>(r,)

typu (B). Wiemy już, że wówczas (poza przypadkiem trywialnym)

</>(Z) = a'    (a>0).

Stąd

et \ ln x ii

f\x)~a —x

(jeśli przyjąć p — \n a), czego należało dowieść.

76. Charakterystyka funkcyjna cosinusa trygonometrycznego i hiperbołicznego. 4° Jeżeli f(x)=cosax lub cosh ax (a> 0), to dla wszystkich x i y rzeczywistych jest spełniony związek

(E)    f(y + x) +f(y -x) = 2/(x)f(y).

Wynika to łatwo z twierdzeń o kosinusie sumy i różnicy:

cos (y ± aj - cos x cosy + sin x sin y, cosh (y + x) - cosh x cosh y + sinh x sinh y

[48, 6°]. Równanie funkcyjne (E), w połączeniu z warunkiem ciągłości funkcji, także i tym razem charakteryzuje w pełni obydwa kosinusy:

Jedynymi funkcjami określonymi i ciągłymi w przedziale ( — co, -f- co) i spełniającymi w nim warunek (E), są kosinus trygonometryczny i kosinus hiperboliczny (e) (jeśli, jak poprzednio, pominiemy funkcję tożsamościowo równą zeru).

Niech więc funkcja f<x) będzie ciągła dla wszystkich * i spełnia warunek (E). Przyjmując x = 0, a y dowolne, byleby było f(y)f 0, wnosimy, że

(10)    /(0)-l.

Przy y=0 otrzymujemy w takim razie

(11)    /<-*) =-/(*),

czyli funkcja /(jc) jest funkcją parzystą.

Ponieważ funkcja ciągła f(x) przy a:=0 jest dodatnia, więc znajdziemy takie dodatnie c, że f(x) jest dodatnia w całym przedziale <0, c>. W dalszym ciągu rozumowanie biegnie różnymi drogami