0132

133

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

czyli funkcja /(x) zmienia znak przy zmianie znaku x. W takim razie z (5) i (6) wyprowadzamy łatwo, że:

(8)    /(- nx) = -f(nx)= - nf(x)

i analogicznie, w ogóle

( m \ m

/to-

Otrzymane związki (5) - (9) można zapisać łącznie w postaci równości

/(rx) = r/M,

słusznej dla dowolnego rzeczywistego x i dowolnej wymiernej liczby r.

Biorąc x= 1 i oznaczając /(1) przez c, otrzymujemy

f(r)=cr.

Tak więc, ustaliliśmy już postać funkcji /, ale jak dotąd tylko dla argumentów wymiernych. Korzystaliśmy przy tym tylko z tego faktu, że funkcja spełnia warunek (A), a nie opieraliśmy się na jej ciągłości.

Niech teraz p będzie dowolną niewymierną wartością argumentu. Łatwo zbudować zbieżny doń ciąg liczb wymiernych

ri, r₂ , . ••, r„, ...

(można np. wziąć przybliżenia odpowiedniego ułamka dziesiętnego nieskończonego). Widzieliśmy niedawno, że

f(r_n)=cr„ (n = l ,2,3,...).

Przejdźmy teraz do granicy przy n-+oo; po prawej stronie otrzymujemy cp, a po lewej, na mocy założonej ciągłości funkcji /, otrzymujemy

lim/(r„)=/(p),

czyli w końcu

f(p)=cp.

Tak więc, rzeczywiście, nasza funkcja przy wszystkich rzeczywistych wartościach argumentu wyraża się wzorem (a). Wzór ten podaje najogólniejsze rozwiązanie równania (A) w funkcjach ciągłych.

75. Charakterystyka funkcyjna funkcji wykładniczej, logarytmicznej i potęgowej. 1° Jeżeli (b)    /(*)=«*    (_fl>0),

to przy dowolnych liczbach rzeczywistych x i y, zawsze zachodzi równość

(B)    /(*+>)-/(*)/00,

wyrażająca dobrze znane prawo mnożenia potęg:

x + y    x y

a =a a .

Okazuje się, że przez związek funkcyjny (B) wraz z własnością ciągłości, funkcja wykładnicza jest w pełni określona. Dokładniej mówiąc:

Jedyną funkcją, określoną i ciągłą w całym przedziale ( —oo, +oo) i spełniającą w nim warunek (B), jest funkcja wykładnicza (jeżeli nie liczyć funkcji tożsamościowo równej zeru).

Innymi słowy, wzór (b) — poza wskazanym wyjątkiem — daje najogólniejsze rozwiązanie równania funkcyjnego (B) w funkcjach ciągłych-

Dla dowodu rozważmy dowolną funkcję f(x) określoną i ciągłą dla wszystkich x i spełniającą warunek (B). Wykluczamy przypadek trywialny, gdy /(jt)=0.