0122

123

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

Określenie ciągłości funkcji można sformułować w innych terminach. Przejście do innej wartości x od wartości x₀ można sobie wyobrazić tak, że wartości x₀ nadano przyrost dx₀-x-x₀ (¹ )• Nowa wartość funkcji y—f(x)=f(x₀ + Ax_Q) różni się od starej y₀ = /(x₀)

0    przyrost

Ay₀ =/(*) f (xq) =/(x₀ + Ax₀) f(X(j).

Na to, by funkcja /(x) była ciągła w punkcie x₀, potrzeba i wystarcza, żeby jej przyrost Ay₀ w tym punkcie dążył do 0 wraz z przyrostem Ax₀ zmiennej niezależnej. Innymi słowy: ciągłość funkcji charakteryzuje się tym, że nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada nieskończenie mały przyrost funkcji:

Ax₀~*0 pociaga za sobą Ay₀~*0 .

Powracając do podstawowej definicji (1) sformułujemy jej treść w języku epsilonów

1    delt [52]. Sens ciągłości funkcji /(x) w punkcie x₀ sprowadza się do następującego warunku: dla każdej liczby £>0 istnieje takie <5>0, że nierówność

|x-x₀|<<5 pociąga za sobą    |/(x)—/(x₀)|<£ .

Ostatnia nierówność powinna być więc spełniona w dostatecznie małym otoczeniu (x₀—<5, x₀+S) punktu x₀.

Wreszcie w języku ciągów wyrażamy tak: dla dowolnego ciągu argumentów x z SC:

Xj, x₂, ..., x„, ... ,

zbieżnego do x₀ odpowiedni ciąg wartości funkcji

f(x_l),f(x₂), ...,/(x„), ...

jest zbieżny do f(x₀) (²).

Uwaga. Niech punkt x=x₀, który jest punktem skupienia obszaru SC określoności funkcji /(x), sam do obszaru SC nie należy, czyli w tym punkcie funkcja nie jest określona. Jeżeli jednakże istnieje skończona granica

lim /(x),

to wystarcza uzupełnić definicję funkcji przyjmując /(x₀) równe tej granicy, żeby funkcja okazała się ciągłą w punkcie x=x₀. W takich przypadkach będziemy zawsze tak postępowali.

Jeżeli, na odwrót, wspomniana granica nie istnieje, to nie bacząc na to, że w samym punkcie x=x₀ funkcja nie jest określona, mówimy pomimo to, że funkcja w tym punkcie ma nieciągłość: jakiekolwiek wartości przypisalibyśmy funkcji przy x=x₀, funkcja pozostaje nieciągła.

(‘) W analizie przyjęto oznaczać przyrosty wielkości x, y, t,... przez Ax, Ay, At, ... Oznaczenia te należy traktować jako symbol w całości, nie oddzielając A od x, itp.

(²) Podobnie jak w przypadku definicji granicy funkcji definicja ciągłości wyrażona w języku epsilonów i delt nosi nazwę definicji Cauchy'ego, a definicja wyrażona w języku ciągów nosi nazwę definicji Heinego. (Przypisek redakcji wydania polskiego).