0128

129

§ 4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji

7) Wspomnijmy jeszcze o funkcji Dirichleta [46]:

*(*)=

c

dla x wymiernych, dla x niewymiernych.

Ponieważ w dowolnym otoczeniu punktu wymiernego są punkty niewymierne, i na odwrót, to dla każdego x₀ z przedziału (—oo, +oo) granica funkcji x(x), gdy x-*x₀, nie istnieje, i w każdym punkcie występuje nieciągłość drugiego rodzaju (z obu stron).

8) Określmy na koniec w przedziale <0,1> funkcję/O) tak: jeżeli x jest wymierne i jest ułamkiem nieskracalnymp/q, to f(x) = \jq\ dla x niewymiernego przyjmijmy/(x) = 0(‘)- Twierdzimy, że w każdym punkcie wymiernym funkcja ma nieciągłości zwyczajne, a w każdym punkcie niewymiernym jest ciągła.

Rzeczywiście, niech x₀ będzie dowolnym punktem w rozważanym przedziale. Dla danej dowolnej liczby e>0 istnieje tylko skończona ilość liczb naturalnych q nie przewyższających 1/e, a więc w przedziale istnieje tylko skończona ilość punktów wymiernych p/q, dla których f(plq)=llq>e. Punkt x₀ można pokryć takim otoczeniem (x₀—<5, x₀+<5), żeby nie leżał w tym otoczeniu żaden ze wspomnianych punktów (poza być może samym punktem x₀). Wówczas, jeżeli tylko |jc—Jtr₀ <<5 (x=£x₀), to bez względu na to, czy x jest wymierne czy też nie, w każdym przypadku jest I /'0r)| <e. Oznacza to, że dla dowolnego punktu x₀ istnieją granice jednostronne

/(x_o+0)=/(*o-0)=O.

Jeżeli x₀ jest punktem niewymiernym, to także f(x_o) = 0, tj. w tym punkcie funkcja jest ciągła; jeżeli x₀ jest wymierne, to f(x_o)^0 i występuje nieciągłość zwyczajna obustronna.

71. Ciągłość i nieciągłości funkcji monofonicznej. Rozważmy funkcję / (x), która przy zmianie x w przedziale 9C (²) monofonicznie rośnie (maleje), choćby w sensie szerszym [57]. Dla takich funkcji zachodzi następujące twierdzenie:

1° Funkcja f{x) monofonicznie rosnąca (malejąca) może mieć w SE tylko nieciągłości pierwszego rodzaju, tj. skoki.

Weźmy dowolny punkt x₀ przedziału SC, ale niech to nie będzie lewy koniec tego przedziału. Rozważając tę część przedziału, która leży na lewo od x₀, zastosujemy do

(') Funkcję tę rozważał B. Riemann.

(²) Przedział ten może być zarówno skończony, jak nieskończony,, domknięty lub otwarty (z jednego lub obu końców).

9 G. M. FichtenhoŁz