PC043398

108

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste Definicja 1.75. Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne po$j,

Bx+C

\X²+px+q\

7 ■ y ^,ub

gdzie: A, B, C,p, q, x₀e R, ze R\{*₀},if~/e W⁺ orazp² - Aq < 0.

fi Uwaga 1.34

Ą

*    Ułamki proste postaci --w nazywamy ułamkami 1 rodzaju. ■

(x-*o)

Bx+C    ,    ,    . M

•    Ułamki proste postaci --t nazywamy ułamkami li rodzaju

(z²+/*+?)

{ Twierdzenie 1.18. Każdą funkcję wymierną można tylko na jeden sposób! ] przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej Jiczby ułamków prostych.

B U waga i .35. Funkcję wymierną* której stopień licznika jest mniejszy od stopni mianownika, można przedstawić jako sumę pewnej liczby ułamków prostat (bez wielomianu).

Przykład 1.99

Aby przedstawić funkcję wymierną /(*) = w postaci sumy ułamki prostych, należy najpierw mianownik tej funkcji zapisać w postaci iloczyno» Ponieważ liczby —1 i 3 są pierwiastkami trójmianu X² - 2x - 3, zatem: 3

ji?~2x-3 = (x + l)(z - 3),

a stąd:

f(x\=_Łt3_,

^{J[ }} (z+l)(z~3)

Na podstawie twierdzenia 1.18 istnieją stałe4 i B, takie że

z+3    _ A . B

(z+l)(z-3) z+1 z-3’

Współczynniki A i B wyznaczymy, sprowadzając prawą stronę powyżsf; równości do wspólnego mianownika i grupując wyrazy licznika: x + 3    _ (Ą+B)x-3A + B

(x+l)(x-3)~ (z + l)(x-3)    •

_ Równość zachodzi, jeśli liczniki wyrażeń wymiernych będą równe, c$

H * + 3 = (4 + B)x ~ 34 + B. Przypomnijmy, że dwa wielomiany są równe, ieżdi

są tego samego stopnia oraz ich odpowiednie współczynniki sg równe (por twierdzenie 1.13), a więc z powyższej zależności otrzymujemy układ równań:

U + J9-1 |-3/4+B = b’

którego rozwiązaniem jest para liczb: A =    , B - — .

Stąd otrzymujemy rozłdad funkcji/na ułamki proste postaci f(^x)*7rr ⁺ ~y.

Ponieważ rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste ma istotne znaczenie przy całkowaniu funkcji wymiernych (poT. rozdział 9), w ćwiczeniu 1.1 przedstawimy kilka dodatkowych przykładów poruszających tę tematykę.

Ćwiczenie 1.1. Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych funkcje:

.;3x²-4x+X^ (x-3)(x²*3x^4) ’ 5x²-t-10x *3 _: (x-ł)(x+2)² ’t

4x⁴ +1 lx³ + 25x² -t- 21x+18 x(x²+2x+3)²

a)    /(x)=

b)    g(x)=

c)    h(x)=

Bil 2x⁵ + 3x⁴ + 3x³ + lx' +4x+8 i) *(*) =-1—,    4

Rozwiązanie

a) Stopień licznika funkcji/jest mniejszy od stopnia mianownika. Ponadto mianownik jest wyrażony w postaci iloczynowej i nie da się go już rozłożyć, ponieważ X² + 3x + 4 > 0 dla x e R, gdyż A = 9 - 16 = -7 < 0. Zatem funkcję / zapisujemy jako sumę ułamka prostego I rodzaju oraz ułamka prostego II rodzaju. Rozkład ten będzie miał następującą postać:

3x²-4x+7    _ A ^ Bx+C

(x-3)(x²+3x+4) x-3 x² + 3x+4

Po sprowadzeniu prawej strony równania do wspólnego mianownika i pogrupowaniu wyrazów otrzymujemy:

3x²—4x+7    ^A+B)x² +(3zl-32?+C)x+4>ł-3C

(x-3)(x²+3x+4)    (x-3)(x² +3x+4)

Porównując liczniki, otrzymujemy równość wielomianów:

3n! - 4x + 7 = (A + 5)x² + (3A - 3B + C)x + 4A - 3C.