156 2

310 XVI. Całki funkcji wymiernych

Zakładamy, że x#^. Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste w następu

sposób:

Uący

9x-5

B

9x — 6x +1 (3x—1) 3x-l

Mnożąc obie strony równości przez wspólny mianownik otrzymujemy 9x-5 = /4+B(3x-l) = 3Bx+(y4-B). Rozwiązujemy układ równań

3B = 9, A-B= -5, skąd B=3, A=-2. Otrzymujemy tożsamość

-2    3

+-

9x—5

9x²-6x + l (3x —1)    3x—1

Całkujemy

f 9x —5    [ dx f dx

—5-dx=—2 -5+3 -=

J 9x²—6x + l    J (3x— l)² J 3x— 1

= — 2 (■ - ~¹ | + 3 • — ln|3x—1| + C . \3(3x— 1)/    3    ¹    1

Ostatecznie więc

l

9x—5    2    .    .

■ dx=^^-- + ln|3x— 11 + C.

9x —6x + l 3(3x—1)

Zadanie 16.11. Obliczyć całkę

J

dx

x²+b

(b> 0).

Rozwiązanie. Wykonujemy podstawienie (1)    x = yjb-t, skąd dx=Jbdl.

Na podstawie wzoru na zamianę zmiennych otrzymujemy

f dx f y/bdt ^fb C dt 1

J J tJ F+i⁼75^arc,g'^+c'

Ostatecznie po podstawieniu na t odpowiedniej wartości ze wzoru (1) otrzymujemy

dx 1    jc

=-jf arctg—+C (b>0).

x²+b Jb Jb W szczególności np. mamy

f dx 1 f dx 1    1    x    1

—5—- =—    —q=— •—= arctg—t= + C = —— arctg —■ x + C .

J 2x² + 9 2 J x²+| 2    3 72    3

Zadanie 16.12. Obliczyć całkę

f dx

J (x-k)²

k) +b

(b> 0).

Rozwiązanie. W całce tej postaci wykonujemy podstawienie x—k = JJ>- i,    skąd dx-_si^bdt.

podstawiając powyższe wartości do całki mamy (por. zad. 16.11):

[ ^dX =( }(x-k)²+b J

Jbdt _ 1 bt²+b Jb

arctg t+C.

x — k    .    .

iip , =    . Ostatecznie więc

^A Jb

dx    1    x — k

=—= arctg——+C    (b> 0).

■k)² + b    ⁶

Do całki omówionej w powyższym zadaniu możemy sprowadzić każdą całkę typu dx

(16.2.3)

1

ax +bx + c

(a^0 i b -4nc<0),

a to na podstawie postaci kanonicznej trójmianu (por. str. 190):

ax² +bx +c = a

b\² -A ^{X +} 2 a) ⁺4 o²

Mianownik funkcji podcałkowej piszemy w postaci kanonicznej, a następnie czynnik 1/a wynosimy przed całkę.

f dx

J 2x²—\2x

Zadanie 16.13. Obliczyć całkę

l2x+27

Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik mianownika A = 144 — 216= —72. Sprowadzamy ^mianownik do postaci kanonicznej

A Wję_C

2a²-12a+27 = 2(a-^)²+^js2(a-3)²+9.

ę dx    i ę dx

J 2a²-12a + 27⁼T J (a —3)² +§

Wykonujemy podstawienie (patrz zadanie 16.12):

a —3 = V|'t,    skąd    dx = J\dt.

°^stępuj_ąc jak w zadaniu 16.12 otrzymujemy

f    arctg (Ąa-S^+C.

J 2a^z-12a+27 3^/2    \3    )