160 2

318 XVI. Całki funkcji wymiernych

Przyjmujemy znowu x=\ i otrzymujemy    Przyrównujemy teraz w tożsamości

Ml)

współczynniki przy x² i otrzymujemy 0 = B+C, skąd C= — Następnie przyrównują wyrazy wolne, mamy 2 = 5B—D, skąd D=^. Mamy więc

x²-2x-7

■1

1    -ir+I

2    2 ' 2 +—²

(x² — 2x + l)(x^z+2x + 5) (x — l)² x-l x +2x + 5

Całkujemy

(2)

JV-

x — 2x — 7

2x + l)(x +2x+5)

.—JiA+AiJ

(x— l)dx x²+2x + 5

Obliczamy całki:

Zostaje obliczenie całki

(3)

r dx -1 f dx

--= =-,    -= ln \x— 1

J (x-l)² X-1 J x-l

x-\

x +2x4-5

dx,

Jak już obliczyliśmy, wyróżnik mianownika jest ujemny. Dzielimy więc licznik przez pochodną mianownika i otrzymujemy x—l=i(2x+2) — 2. A więc

x— 1

x +2x + 5

■ dx

2x+2 + 2x + 5

dx — 2

dx

x +2x+5

Pierwsza całka

2x+2

x -|- 2x + 5

W drugiej całce przekształcamy mianownik

dx

i

dx=ln(x²+2x + 5)

dx

x +2x4*5

(x + l) +4

i wykonujemy podstawienie x+1=^/41, czyli x+l=2r, skąd dx = 2dt. A więc f dx    r 2dt ₂ f dt ,

dx=jln(x² +2x+5)-arctgi(x + l).

Wracając do całki (3) mamy x— 1

x +2x+5

Ostatecznie na podstawie równości (2) otrzymujemy

x —2x—7

(x —2x-ł-l)(x +2x4*5)

dx=-—- + A ln |x — 11 — j ln (x² + 2x + 5) + i arctg 2 (x +1) + ^ ‘

Zadanie 16.20. Obliczyć całkę

f 2x³-x²4-4x-3 _j J x⁴4-2x²4-9 ^dX'

Rozwiązanie. Mianownik jest trójmianem dwukwadratowym o wyróżniku ujemnym, możemy go więc rozłożyć metodą podaną w zadaniach 16.17 i 16.18. Możemy na-"omiast rozłożyć go wtedy na czynniki stopnia drugiego w następujący sposób:

^₊2x² 4- 9 s (x² 4- 3)² — 4x²&(x² + 3 + 2x)(x²4-3-2x)s(x² + 2x + 3)(x²—2x+3). Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste

2x³ —x² +4x — 3_ Ax + B Cx+D x⁴4-2x²4-9    x²4-2x4-3 x² — 2x+3

Mnożąc obie strony równości przez wspólny mianownik otrzymujemy 2x³-x²4-4x-3 =

={A x+B) (x² - 2x + 3) + (Cx + D) (x² + 2x + 3) s

=(A + C)x³ +(-2A+ B +2C + D) x² +(3A -2B + 3C +2D)x +(3B +3D).

Stąd otrzymujemy układ równań

A + C = 2,    —2A+B+2C+D = —1 ,    3M-2B + 3C+2£» = 4, 3B + 3D=-3.

Rozwiązanie tego układu daje A = l, B=0, C= 1, D= —1. A więc

x-l

2x³—x²4-4x—3

x⁴4-2x²4-9

Całkujemy

(1)    [2x³-x

J x⁴+:

+4x-3

+2x² +9

dx =

x²+2x+3 x²—2x+3 xdx

x 4-2x4-3

.4-

f x-l

J x²— 2x

2x:+3

dx.

^ pierwszej całce dzielimy licznik przez pochodną 2x4-2 mianownika i otrzymujemy * ®i(2x 4-2) — 1. A więc

(2)

xdx

x 4-2x4-3

1 f 2x4-2    , f

~~2 J x² 4-2x4-3^ J

dx

x 4-2x4-3

"^t?Pując dalej jak w zadaniu 16.14 otrzymujemy

(3)

h

xdx

1

1

x4-l

^^T3-r^ln(*    +2x+

Obli,

czarny teraz drugą całkę w równości (1):

f JC-1    , f 2x—2    ,    ,

—5—~-r dx = - —- dx = iln(x² —2x4-3)

J x² —2x4-3    ²J x² —2x4-3    ²    ’

(4)