161 2

320 XVI. Całki funkcji wymiernych

Podstawiając wartości (3) i (4) do (1) mamy ostatecznie

^/’2x³-x²+4x-3    ,    , ,    1    x + l , ,

dx = \ ln(x²+2x + 3)—7= arctg ——+iln(x²-2x + 3) + C =

1

x⁴+2x² + 9

T*

.    .    1    x +1

=4ln(x⁴+2x +9)—T= arctg—p^ + C.

V² V²

Zadanie 16.21. Obliczyć całkę

dx

1

(x²+l)ⁿ

(n liczba naturalna).

Rozwiązanie Będziemy szukali tzw. wzoru redukcyjnego (lub rekurencyjnego), na podstawie którego wyrazimy daną całkę przez całkę o niższej potędze w mianowniku. W tym celu robimy następujące przekształcenie:

Jeżeli więc oznaczymy krótko /„ =

(1)

Weźmy pod uwagę drugą całkę

(x² + l)'

• ^/b_i I(*²

dx

+ 1)"

f dx	fx^2 + l-x^2	f dx	x^2dx
J (x^2+ir J	^ U A - (*^2 + D"	(x^2 + l)"-^x J	(x^2 + l)^B

dx

-, to otrzymamy wzór

x ²dx (x²+iy

f xdx

'"⁼ J (^² + 1)"

i zastosujmy wzór na całkowanie przez części; mamy

xdx

u = x, dv=,—-

(x^z + iy’ (por. zad. 15.8). Mamy więc

skąd du

dx

-1

+ l)ⁿ 2(n —l)(x² + l)

n - 1

x²dx

—x

(x² + l)ⁿ (2n—2) (x² + l)' -1    x

>"“^{1 +} j(2n-

dx

2) (x² +1)"

1

In- 1-

2n-2 (x² + l)^n_1 ' 2n —2 Podstawiając ten wynik do równości (1) otrzymujemy

2n — 2 (x² + l)^B_1    2n—2

ytecznie otrzymujemy wzór rekurencyjny 1    x

(16.2.4) h =₂„_2 ' (x² + l)"^_1 ' 2n -2 Zadanie 10.22. Obliczyć całkę

2n —3    r

+--1, gdzie /„ =

dx

(x² + l)"

dx

(x² + l)⁴

Rozwiązanie. Zastosujemy metodę podaną w poprzednim zadaniu. Szukaną całkę oznaczamy przez /₄. Według wzoru (16.2.4) wyprowadzonego w poprzednim zadaniu mamy

. x .

I a — ; * j-5 -r /₃

^{4 6} (x²+l)^{3 6 3}

i dalej na podstawie tego samego wzoru obliczamy kolejno:

i 3 ,    i _1 . ^A ,lr

(x² + l)^{2+4 2}’    ^2-2 x² + l ²

Mamy oczywiście

/i

j* dx

⁼ J Z+i⁼

arctg x.

Cofając się otrzymujemy kolejno:

r 1	X 1
	V+l^+2 “CtS*"
J,.^1	x 3 i_	1 x _ 3 1
4	(x^2+l)^2 4	2 x^2 + 1^+4 2
Z,-^1	x 5	1x5
^4 6	(x^2 + l)^3 6	4 (x^2 + l)^2 ' 6

Ostatecznie otrzymujemy

x 5-3-1

j— + —— arctg x + C .

dx

1 x 5 x 5 x 5

(x² + l)⁴    6    (x² +1)³ 24 (x² + l)² 16 x² + l 16

Zadanie 16.23. Obliczyć całkę

dx

2 i ^—“F ' /„2 , i\3    * ,.„2 , ,-.2 + 7? ' 7F77 ^arctg ■* + *-' .

J (x²—4x+13)²

^ Rozwiązanie. Stwierdzamy, że wyróżnik mianownika jest ujemny: d = 16 —52<0. ^r°Wadzamy mianownik funkcji podcałkowej do postaci kanonicznej

f dx

-2)² +9)²

J ((*-:

Analiza matematyczna cz. I