159 2

316 XVI. Całki funkcji wymiernych

Zakładamy, że x#l, xjt- 1, x#2,    — 2. Rozkładamy funkcję podcałkową na

ułamków prostych (1)

^su«nę

4a¹ +x² —4x — 4 x*-5x²+A x-l * + l ’ x—2 ' x+2

Mnożąc obie strony tożsamości przez wspólny mianownik otrzymujemy

4x¹+x²-4x-A = A(x + l)(x-2)(x+2) +

+B (x-1) (x - 2)(x +2) + C(x— l)(x +1) (x +2) + D (x -1) (* +1) (a:-2)

W miejsce a podstawiamy kolejno pierwiastki mianownika. Gdy x=1, mamy 4 +1 -4_4 -A (1 +1) (1 — 2) (1 +2), skąd —3=—6 A, czyli A =|; gdy x= — 1, mamy -4+1 +4-ą₌ = B(-2) (— 3)• 1, skąd B= gdy x = 2, mamy 4-8 + 4-8-4 = C-3-4, skąd C=2; gdy .v = -2, mamy 4 (-8) + 4 + 8-4 = D(-3) (-1) (-4), skąd D = 2. Równość (1) przyjmuje więc postać

— +— . x—1 a + 1 x—2 x+2

4a¹ + a² —4a—4    ±422

a²-5a²+4

Całkujemy

4a¹ +x² — 4a —4

x—5x +4

dx=\]n |x—1| — i ln |x + l| +2ln |^c—2| +2 ln |x+2| + C ,

lub krócej:

4x¹ +x²—4x—4

.-=-dx=4- ln

x*—5x²+4    ²

x— 1

•V + l

+21n|x²-4|+C. .

Zadanie 16.18. Obliczyć całkę

f a² + 2a¹ + 5x²+4a + 2

dx.

x²+3a²+2

Rozwiązanie. Stopień licznika równa się stopniowi mianownika, a więc dzielimy licznik przez mianownik. Po podzieleniu otrzymujemy

x² + 2x¹+5x²+4x + 2 x² + 3x²+2

= 1+-

2x¹ +2x² +4x x²+3x²+2

2x³ +2x² +4x=(Ax + B)(x² + 2)+(Cx+D)(x² +1).

>k4^d

równując współczynniki po obu stronach tożsamości musielibyśmy rozwiązać układ ' _rech równań z czteroma niewiadomymi. Zamiast tego podstawimy w miejsce x urojone ^c. rwiastki mianownika. Gdy x=i, mamy -2i—2+4i—(Ai+B)-l, skąd A = 2, B=-2 Hbowiem dwie liczby zespolone są równe, jeżeli ich części rzeczywiste są równe i części pojone są równe); gdy x=i^2, mamy -4^2i-4+4 _s/2i=(C _yf2i+D)(-\), skąd r-0 D = 4. A więc

2x³+2x²+4x 2x—2    4

x* + 3x²+2 x²+l x²+2

■+-

Całkujemy

dx

x²~+2

f 2x³+2x²+4x f 2x    f dx

—2-^- dx= —z dx — 2 —z--1-4

J x⁴+3x²+2 J x² + \ J x² + 1

Obliczamy kolejno całki:

f 2x ,    , , ,    C dx    f dx 1    x

J ś+\^dx=ln(x +1)> J^+r^=arct8X’ J    ⁼yf^arclg71

(por. zad. 16.11). Na podstawie równości (1) otrzymujemy ostatecznie

’ x⁴+2x³ +5x² +4x+2    ₂    rr x

x*+3x²+2 Zadanie 16.19. Obliczyć całkę

- dx = x + \n(x + l)-2arctgA' + 272 arctg -y= + C .

dx.

x² —2x — l

(x² — 2x + l)(x² +2a+5)

Rozwiązanie. Widzimy, że x² —2x+1 =(x— l)², natomiast trójmian x² + 2x + 5 ma wyróżnik A =4—20<0, a więc nie da się rozłożyć na czynniki. Otrzymujemy

(;c²-2x + l)(*²+2x + 5) = (.t—1)²(*²+2;c + 5) .

Nakładamy, że 1. Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste

B

-2x—l

+

Cx + D

(x² —2a: + 1)(.x² +2x + 5) (x-1)² x-l x²+2x + 5

Mnożenie obu stron równości przez wspólny mianownik daje

x²-2x-l = A(x²+2x + 5)+B(x-l)(x²+2x+5)+(Cx+D)(x-l)².

Wyjmując x= 1 znajdujemy A= — 1. Wstawiając obliczoną wartość A otrzymujemy

x²-2x-ls-x²-2x-5 + B(x-l)(x²+2x + 5)+(Cx + D)(x-l)² ,

^li

2(x— l)(^c +1)    — l)(x² +2x + 5) +(Cx + D)(a‘— l)² .

~*^elimy obie strony tożsamości przez x—1 i otrzymujemy .71    2(x + l)=B(x²+2;c + 5)+(C;t+D)(x-l) .

A więc (1)

f 2x¹

= *⁺J-V

1

dx.

1

+2x²+4x

2

‘+3x²+2

W ostatniej całce mianownik jest trójmianem dwukwadratowym. Ponieważ wyróżnik zf = 9- 8= l>0, postępujemy jak w poprzednim zadaniu i otrzymujemy

x* + 3x² +2 = (x² + l)(x² +2).

Opierając się na tym przekształceniu rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki pi^05ie

2x¹+2x²+4x Ax+B Cx + D x² +3x² +2 ⁼ x² + l A²+2 ’