168 2

334 XVII. Całki funkcji niewymiernych

Zakładamy, że |jc +11 < ^5, i podstawiamy x+1    skąd dx=yj5dt. Wówczas

i otrzymujemy

1*1

ci

r dx _ r \f5dt _ f dt J y/4-2x-x² J V5-51² J ViT?

arcsm t.

Ponieważ f=^=-> więc ostatecznie

V 5

I

dx

V 4—2x~x²

x + l ^ =arcsin —+ C.

V 5

W ten sposób obliczamy każdą całkę postaci

dx

J

gdzie    a< 0,

yf ax² + bx + c

w przedziale, w którym wyrażenie podpierwiastkowe przybiera wartości dodatnie. Zadanie 17.39. Obliczyć całkę

(3x + l)d;t

f

yjx²+5x—10

Rozwiązanie. Przyjmujemy, że jc²+5x-10>0. Jeżeli licznik jest pochodną funkcji znajdującej się pod pierwiastkiem kwadratowym, to ze wzoru z rachunku różniczkowego

Uu(x))'=    , gdzie    U(x)> 0,

’    2 yJU{x)

otrzymujemy natychmiast wzór rachunku całkowego

(17.2.5)

f U\x)dx -

J

Aby naszą całkę sprowadzić do całki (17.2.5) i do całki typu z zadania 17.36, dzielimy licznik 3x+l funkcji podcałkowej przez pochodną wyrażenia podpierwiastkowego, ^!J' przez 2x+5, i otrzymujemy 3x +1 =|(2x+5)-^. Uwzględniając powyższe przekształcenie mamy

(1)

f (3x+l)dx ? i	(* (2x + 5)dx 13 i	f dx
J ■>/jc^2+5jc—10 J	I 2y/x^2 +5x—10 2 J	1 \/x^2 + 5x—10

Pierwsza całka po prawej stronie wzoru (1) jest podług (17.2.5) równa 3 y/x²+5x

a drugą obliczamy przekształcając trójmian w mianowniku w celu skorzystania ze (17.2.2) jak w zadaniu 17.36:

x²+5;c-10 = (;c+f)^ł-V-10=(*+f)²-!£.

_wzofl>

podstawiamy x + \ = t, skąd dx = dt, i według wzoru (17.2.2) mamy dx    r dt    /-=—tt,

J 7^+5*-10 J s/t²-⁶i    *'

= ln \x + \ +\Jx² + 5x—10| + C .

podstawiając obliczone całki do równości (1) otrzymujemy ostatecznie

(3x + l)dx \/*²+5x-10

= 3V*² + 5*-10-^ln|;c+§Wx² + 5;c-10| + C.

W ten sposób obliczamy każdą całkę postaci

I

gdzie a > 0 ,

(Ax + B) dx

\J ax² + bx+c ’ w przedziale, w którym wyrażenie podpierwiastkowe przyjmuje wartości dodatnie. Jeżeli zaś a<0, postępujemy podobnie, a wynik różni się oczywiście tym, że druga całka sprowadza się do funkcji arcsin t (jak w zadaniu 17.37).

Zadanie 17.40. Obliczyć całkę

/ =

2x +1

\l2+x—3x²

dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że — §<*<1. Chcemy sprowadzić naszą całkę do całki 07.2.4) oraz do całki rozwiązanej w zadaniu 17.39. W tym celu dzielimy licznik funkcji podcałkowej przez pochodną wyrażenia podpierwiastkowego i otrzymujemy 2x+1 = ⁼ ~s(—6x+ 1)+|. Wstawiając powyższe do danej całki otrzymujemy

'‘-h

-6x + l

^dx+t‘l

dx

\h+x — 'ix²

Pierwszą całkę obliczamy według wzoru (17.2.5):

— 6;t + l

1

V2+*-3*² Drugą całkę sprowadzamy do całki (17.2.4):

Po

y]l + X-lx² '

dx—2\j2+x—3x^z .

f    _ 1    dx    1 [■ dx

J ^2+x-3x² V3 J y/$₊łx-_x² s/~3 J (jc—|)² '

Podstawieniu x—\ = t, skąd dx = dt, i zastosowaniu wzoru (17.2.4) otrzymujemy

dx    1    . x—£    1

..    ~r~~7- arcsin—— = — arcsin

V 2+x-3x² y/3    i V3

6x—1

5