174 2

346 XVII. Całki funkcji niewymiernych

gdzie — 1<m<0 lub 0<w<l. Stąd

1

x² = -

u du

2, skąd xdx=--*

1 -tT" ‘    (i-w^żr

Pomnóżmy licznik i mianownik funkcji podcałkowej przez x:

(2)    I-

xdx

(x²+l)Wx²-l

Wykonujemy obliczenia pomocnicze

(3)

x +1=-

r + 1 =-

2-u²

x\fx² — l = x- xu = x²u = -

l-u^z ■" 1 -u^z'    1-u²

Zatem całka (2) przez podstawienie (1) przyjmuje postać

/ =

udu    f du

J „ 2x2 ²-“²    « J ²-«²

(4)

d-“)    , z .    *

1—H 1—U

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste

1

A B

■ —

2 — u² ^2 — u yfl+u Łatwe obliczenie daje A = B=± ^2. Całkując równość (4) otrzymujemy

1 f du 1    [ du    1    1    ,    , _r

Tfij vf^⁺2vfj    ⁾⁺2ji ^

- ¹ ,a^₊C.

Podstawiając w=

2y/2 J2-U

V*²-l

po przekształceniach otrzymujemy

_r 1 , xV2+Vx²-l n/2, (xV2+Vx²-1)'

/=—pin —p-. +C=—ln-₅— --hc .

.    272 xsl2-s[x^r^\ 4    x²+l

Uwaga. Całka rozwiązana powyżej jest całką typu

dx

J(ax²+

(ax² +b)\! px² +q

Przez podstawienie \/px²+q=xu sprowadzamy ją do całki funkcji wymiernej-

gadania

Obliczyć całki (zad. 17.51 - 17.123): ę (8a + 3)dx

J V 4x² + 3a +1

.53. (

dx

17.53.

17.55.

4lx-xⁱ

dx

f (a+ 3 )dx

17.52. f ,__

J V36a²-108a+77

r    dx

17.54.    — ■

J V 7 —6a —a²

f dx

17.56.    ....    , r>0

J V(2r —a)a

f    A dx

17.58.    ,

J V 1-2a-:

(10a-15 )dx

-3a

17.59. J yll-Ax² dx .

.V —5

f 6a + 5

17.60.

J V6 +a —;

-dx.

17.61.

\/5+4a- x² 17.63. J \l6x — x² dx. dx

dx.

17.62.

17.64.

A + l

V8+2a-a² 2a —3

V 3 - 2a — a^:

dx.

d x .

17.65.

17.67.

17.69.

17.71.

yjx² +3x + 2 dx

V x² - x + m (x + 3)dx 4x²+2x

, m>\.

X + Cl

•Jx²—ax 17.73. ¹    3x+2

dx, a> 0.

17.66.

^1MŁ1

17.70.

17.72.

dx

V4a²+3a-1

dx

y/(x-a)(x-3a) (3x + 2)dx Va² — 5a + 19

3a —2

a>0.

I

va²-4a+5 17.75. *    5x+2

dx.

17.74.

V4a²-4a + 5 3a —4

dx.

7-75. f

J

J

V2x² + 8x—1

17.77. |    ⁵*~⁴

%/ 3a² — 2x + i

dx.

dx.

V 4a² + 5x —8 17.76. | \j2x + x² dx.

dx.

17.78. J V3 — 2a — a² dA.