165

Rozdział XVII

CAŁKI FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

§ 17.1. CAŁKI FUNKCJI ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTKI Z WYRAŻENIA LINIOWEGO

Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg zmiennej x o wykładnikach postaci m/«, gdzie m, n są liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to wykonujemy podstawienie

x=t^N,

gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci mfn.

Zadanie 17.1. Obliczyć całkę

_ f ^dx

J s/x + l/x

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>0. Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennych x^l12 i x^Ui; wspólnym mianownikiem ułamków | i ^ jest 6, wobec tego podstawiamy x = t⁶,    0, skąd otrzymujemy dx = 6t⁵dt, Jx = t³, \Jx = t². Jest więc

= 6(ir³-i/²+t-ln(f + l))+C = 2!³-3f²+6/-61n(f + l)+C. Na koniec powracamy do zmiennej x i ostatecznie otrzymujemy

j ^₊-^- = 2_>/*-3fe+6foc-61n(fo + l) + C.

Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęg dwumia^nU ax+b lub funkcji homograficznej

ax + b

-, gdzie ad-bcź 0,

o wykładnikach postaci mjn, gdzie m, n są liczbami naturalnymi względem siebie p^,er" szymi, to w pierwszym przypadku wykonujemy podstawienie

* drugim przypadku

ax + b _v

-= t ,

cx+d

/V oznacza wspólny mianownik ułamków postaci mjn.

Zadanie 17.2. Obliczyć całkę jV 2x—ldx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x'&\. Podstawiamy 3x—7 = r*, gdzie 0, skąd przez różniczkowanie otrzymujemy 3dx=4t³dt, dx—\t³dt. A więc

J V3x-ldx = f \t ■ f³dt=\ • |<^s + C=£(3x - 7)^5/4+C.

Zadanie 17.3. Obliczyć całkę

1

dx

%/ 4 — 5x

—\t²dt. Mamy

Rozwiązanie. Podstawiamy 4-5x = r³, skąd ~5dx=3t²dt, czyli dx =

I^s=-jx=-i-i'^2+c=-^^i,s+c-

Zadanie 17.4. Obliczyć całkę Jx-\/2x— 10dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x^5. Podstawiamy 2x-10=r², gdzie t^O, skąd ldx=2t dt, a więc dx = t dt. Prócz tego obliczamy x ze związku 2x-10=r² i otrzymujemy *⁼ł(t² + 10). W ten sposób po podstawieniu całka przyjmie postać

J x yjlx -10dx = | j (t² + 10) t - tdt = 5 J (l⁴ + 10t²) dt = \ J l⁴df+^ J t²dt=

=l-|t⁵ + 5-|t³ + C=(^t⁴+|/²)f + C

‘ statecznie

J x\/2x-10dx=2(ix²-jx—^)V2x-10 + C.

Zadanie 17.5. Obliczyć całkę

Rozwiązanie. Zakładamy,	że x # 1 i x # — 1 •	Podstawiamy
x + l 3	f^3 + l	— 6t^2dt
	^Skąd X t^3-l’	dx— —;-, • («^3-l)^2
^uProszczeniu otrzymujemy
	I 3 f ^dt