img053

CAŁKOWANIE PEWNYCH WYRAŻEŃ ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTKI Z FUNKCJI WYMIERNYCH

43. Całka

J;

dx

ł](x-l){x+lf

wydaje się być niepodobna do całki typu (4.2). Ale przekształcenie:

J:

dx

l•v^n

AT + l dx

^j[x-\)[x+\)² |'V*+1    1 ^x+l

przekonuje, iż jest to całka typu (4.2). Stosujemy więc podstawienie:

t =    = <p ,(*) => x =    = <p(/) => ę>' (/) = -6—-—j

Vx-1 ¹    t³-l    (_t>-1)²

Dlatego też

I

dx

-j

C-l 6/²

=1j(-7V^>L

(3.8)

fl+T

1. f² +1 +1    /~    2/ + 1

— In-5- + V3 arctg —7=-

2    (,-l)^2    b V3

+ C.

aor + &r+c

Całkowanie funkcji niewymiernych postaci r

V'

Jak pokażemy później, obliczanie całek postaci:

dx,

(4.4)

f TO

^ ylax² +bx+c

gdzie a, b, c e R, W_t zaś jest wielomianem zmiennej rzeczywistej stopnia l e N u {0} o współczynnikach rzeczywistych, można sprowadzić do wyznaczania całki typu

14-5)    '

^J ->]ax +bx+c

która jest szczególnie prostym przykładem całki typu (4.4) (/ = 0 i W = 1).

Zauważmy jednak, że jeśli a = 0 i b * 0, to całka (4.5) jest postaci (4.2) lub jak kto woli typu (4.3) i w tym przypadku metoda jej obliczania została już omówiona. Gdy zaś a = b = 0, to

trzeba założyć, że c > 0 (dlaczego?) i całka (4.5) jest wtedy równa — x+C.

Vc

W dalszym ciągu będziemy więc zakładać, iż a * 0. Jeśli zatem a * 0, ale A = b¹ - 4ac = 0, to jak wiadomo

ox² +    + c = a( * + — I

l    2 a)

i z konieczności należy założyć, że a jest liczbą dodatnią (a > 0). Jeśli zaś a > 0 i A - 0, to

53