0039

§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki

41

w danej całce sprowadza się od razu do postaci wymiernej przez podstawienie:

t

,^v/a+bz v,-—-r

= y    = yax-"+b .

Tak więc obie całki (2) mogą być wyrażone w postaci skończonej, jeśli jedna z liczb

P, .9, p+a

lub — co na to samo wychodzi — jedna z liczb

m + 1    m + 1

P.

+P

n    n

jest całkowita.

Te przypadki całkowalności znał właściwie już Newton. Jednak dopiero w połowie zeszłego wieku Czebyszew stwierdził ważny fakt, że nie ma innych przypadków całkowalności w postaci skończonej różniczek dwumiennych.

Przykłady.

3/

i) r 1±±XŁ. dx = [x-’»(i+x''*y»dx.

^J    |/ jc    ^J

Tutaj ni = —j-, n = p = -j-. Ponieważ

ro+1

T⁺¹

² — = 2,

n    1

4

mamy więc drugi przypadek całkowalności. Biorąc pod uwagę, że v = 3, podstawmy w myśl ogólnej reguły

/ =    +    x = 0³-l)\ dx = 12/*(f^ł-l)»rft,

wówczas

I

Vi+y-_x

dx

= 12 J(t^s-t³)dt = -|-/⁴(4f^s-7)+C i

itd.

2)

r———= r**(i+**)-^ł'v.*. ^J VT+* ^J

Tym razem m = 0, n = 4, p = —i-. Trzeci przypadek całkowalności, ponieważ —+p ■

’    It

0. Tutaj v = 4. Podstawmy

1 1

4    4

a więc

= Łx = /(/⁴-l)-^1/4,

f dx    f t²dt 1 f/ 1__l\.,    1 f dt 1

^T+T⁴'    ^ ^{,4_1    4}-M»+ł    /-!/* 2 J r*+i 4

itd.

t+1

f-1

— —arctg r+C 2