img062

CAŁKOWANIE PEWNYCH WYRAŻEŃ ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTKI Z FUNKCJI WYMIERNYCH

W niektórych podręcznikach formułuje się też twierdzenie równoważne z twierdzeniem 4.5.

Twierdzenie 4.6

Jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają założenia sformułowane w uwadze 4.1, to każde z podstawień:

A.    -<jax² +bx+c=tTx-Ja, gdy a>0,

B.    iJax² +fu;+c = tx+-Jc, gdy c > 0,

C.    s]ax² + bx+c=Ja(x-x_l)(x-x₂) =/(x-a:_l), gdy A = b¹ -4ac> 0,

które również nazywamy podstawieniami Eulera, sprowadza całkę typu (4.5) do całki z funkcji wymiernej zmiennej t.

Uwaga 4.3

Rozpatrywane w twierdzeniu 4.6 przypadki A i B (a > 0 i c > 0) sprowadzają się wzajemnie do siebie przez podstawienie x = -. Zawsze można więc uniknąć korzystania np. z podsta-

U

wienia B i całe twierdzenie można sprowadzić wyłącznie do przypadków A i C z zaznaczeniem, iż to ostatnie nie wyklucza się zawsze z pierwszym.

Nietrudno też zauważyć, że jeśli podstawienie II zastąpimy podstawieniem C (zobacz jeszcze raz uwagę 4.1), to twierdzenie 4.5 pozostanie prawdziwe.

Trudno jest ocenić, które z wymienionych podstawień Eulera stosować w konkretnym zadaniu. Gdy więc w danym przykładzie można zastosować kilka różnych podstawień Eulera, to każde z nich należy uznać za jednakowo przydatne.

Zanim podamy konkretne zastosowania podstawień Eulera, zestawmy jeszcze bardzo użyteczne wzory, z których często korzystamy w konkretnych zadaniach.

Ad I.

(4.16)

t = Jax²+bx+c+x = (p ,(x), x = ——- = ę(t), ę'(t) = la ^at +^ ^{+ C}, ’    2at + b    (2at + bf

I—i—;- r<d²⁺bt + c

fax +bx+c = fa-;

2at + b

AdH.

(4.17)

^t=2a2^P«^ł+te₊c+VA] = *_₁M,

2 tyfx    b

2ax + b ę'(t) - -2-JX

4ax²+bx+c = J\

r+a

-y >

r-a

t -a 2a

(

= «>(')>

A:=- — 4 a

62