img064

CAŁKOWANIE PEWNYCH WYRAŻElś' ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTKI Z FUNKCJI WYMIERNYCH

=b:

r + C.

W x + Jx²-2x

Dodajmy, iż zadaną całkę można również wyznaczyć korzystając z twierdzenia 4.3.

4.11. Do całki

J

dx

VI

+ x

możemy również zastosować podstawienie Eulera I: Jl + x² = t - x.

Wówczas t = x+-Jl + x² = <?_,(*), x = -—— = <p(f), ę'(t) = ■■■    , >Jl + x² =

2t

2t

t+L 21 ’

a zatem

L,„ =H"'^CT7l^+c

Zauważmy, że zadaną całkę obliczyliśmy już dużo wcześniej, bez korzystania z podstawień Eulera (zobacz przykład 2.12).

J:

-dx

4.12. Całkę

■Jlt- x² -1

możemy obliczyć stosując podstawienie Eulera II: -Jl-x² = tx -1

Stąd    '=^(V i-x² +l) = ę>_i(f),    * = yrj-j- = <P(0>    ⁱP'(0 = -²^₊^2

4l-x* = -2-ji—.

t² +1

i w rezultacie r dr ( r/"-l

\	f f(/^2 + l)-2 1 r ' dt
1=9-1 W	^J r +1

^,=9-i(^x)

yjl^xⁱ+1

i(^x!

^2,1    Vl-*² +1

- 2arctg-+C.

4.13. Do obliczenia całki

(• dr ■* x + -Jx² -x + \

możemy zastosować zarówno podstawienie Eulera A jak i B.

64