0043

45

§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki

Podnosząc tę równość stronami do kwadratu otrzymujemy po zredukowaniu po obu stronach składników ax² równość bx+c = t² — 2]/atx, a więc:

t²-c 2\/at + b

]/ax² + bx + c

1/at² + bt + c j/a 2j/at + b

dx =

₂ ya^ + bt + ctfa

(2 \/at + by

Cały dowcip podstawienia Eulera polega na tym, że dla wyznaczenia x otrzymujemy równanie pierwszego stopnia, a więc x, a jednocześnie także pierwiastek \/ax²+bx+c wyraża się wymiernie przez t.

Jeśli otrzymane wyrażenie podstawimy do wzoru (4), to zadanie sprowadzi się do całkowania funkcji wymiernej zmiennej t. Powracając w wyniku do x, trzeba będzie podstawić t = ]/ax² +bx+c+]/ax.

Drugie podstawienie można zastosować, jeśli c > 0. W tym przypadku można przyjąć

]/ax² + bx + c =xt + /c(¹).

Jeśli podniesiemy obie strony do kwadratu, zredukujemy po obu stronach c i skrócimy przez x, to otrzymamy ax+b — xt²+2]/ct— znowu równanie stopnia pierwszego względem x. Stąd

x

l^at—b a-t² ’

]/ax² + bx + c

]/ct² — bt + ]/c a — t²

dx

]/ct²-bt+^ca

(a-t²)²

Podstawiając to do wzoru (4), sprowadzimy wyrażenie podcałkowe do postaci wymiernej. Po scałkowaniu podstawimy w wyniku

}/ax² + bx+c — ]fc x

Uwaga I. Rozpatrzone wyżej przypadki (a > 0 i c > 0) sprowadzają się wzajemnie do siebie przez podstawienie x = 1/z. Dlatego można zawsze uniknąć korzystania z drugiego podstawienia.

Wreszcie trzecie podstawienie może być stosowane w przypadku, gdy trójmian kwadratowy ax²+bx+cma dwa różne pierwiastki rzeczywiste kip. Wówczas trójmian ten, jak wiadomo, rozkłada się na czynniki liniowe

ax² + bx+c = a (x—A)(x—p).

(‘) Lub ]/ax²+bx+c = xt—}/c.