155 2

308 XVI. Całki funkcji wymiernych

Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik trójmianu znajdującego się w mianow ,4 = 81 +40= 121 = 11². Mianownik ma pierwiastki —5 i i, a więc    ^

2x² +9x — 5 = 2(x — i) (x + 5) = (2jc — l)(x + 5).

W dalszych rozważaniach przyjmujemy ograniczenia:    5,

Rozkładamy funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych

1

B

+-

,    2x +9x-5 2x—l x + 5

Mnożąc obie strony równania przez (2x-1) (x+5) otrzymujemy

lsX(^+5)+R(2x-l), skąd 1 =(A +2B)x+(5A~B).

Mamy tutaj do czynienia z tożsamością, czyli związkiem, który ma miejsce dla każdego x. Z tożsamości powyższej wynikają następujące zależności (przez przyrównanie współ-czynników przy równych potęgach x po obu stronach tożsamości):

A+2B = 0, 5A — B=l,    skąd A=±,B=-±.

Wracając do funkcji podcałkowej otrzymujemy rozkład

2

_ 11

1

11

1

2x*+9x-5    2x— 1 x+5

Całkujemy obie strony tożsamości i po prawej stronie wynosimy czynniki stałe przed całki

dx i C dx i C dx

2x +9x

_2 f dx i f

-5 ¹¹ J 2x—1 u J

=Yi •-j-ln|2x-l|-j^ln|x+5| +C =

=-pj ln|2x-11 -^ ln|x+ 5| + C =jp ln

x+5

+C.

2x—l

x+5

Zadanie 16.8. Obliczyć całkę

dx.

Hjc—1 2x² -5x-2

Rozwiązanie. Postępujemy podobnie, jak w poprzednim zadaniu; mamy A=25+^' =49, skąd x_x = —x₂—2, a więc

3x²-5x-2 = 3(x+i)(x-2)={3x + l)(x-2).

Zakładając, że    i x^2, rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste

B

1 lx— 1

3x — 5x — 2 3x + l x—2

obie strony przez wspólny mianownik otrzymujemy 1 lx -1 s A (x-2) + B (3x +1).

_Nfno«^c

(2)

jcładzie tym zastosujemy inną metodę obliczania współczynników. W miejsce * " ¹³ _vjamy kolejno pierwiastki mianownika funkcji podcałkowej (tożsamość bowiem równością spełnioną dla każdego x). Przyjmując x = 2(^ł) otrzymujemy

22-1 = £-7, skąd podobnie przyjmując *--i mamy

skąd

3

3 = 2.

_n_l_=X(-i-2),

IIjc—1

A więc

3x — 5x — 2 3* + l x — 2

Obliczamy

1

ll.v-l 3.v² — 5a^- — 2

dx — 2

dx

3x + l

+ 3

dx 2    ,    .    ,    .

-- = — ln|3* + l | + 3 ln|x —2| + C.

Zadanie 16.9. Obliczyć całkę

dx

9a — 12.v + 4

Rozwiązanie. Mamy A-144 —144 = 0, a więc mianownik jest kwadratem zupełnym

9w² —12x+4 = (3w —2)².

Zakładamy, że x^\, i obliczamy

dx

j* dx

J 9x² —12.

12* + 4

(3w —2)

,    (3a —2)

2 y²dx=--+c

(-1)3

⁽Por. zadanie 16.2). Ostatecznie więc

I

dx

-1

9 A' — 12w + 4 3(.3a—2)

+ c.

Zadanie 16.10. Obliczyć całkę

I

dx.

9a —5

9a-²-6a+1

R

^0i!Wiązanie. Mamy 3 = 36 — 36 = 0. Mianownik jest pełnym kwadratem »______ 9x² — 6x + l= (3x— l)².

/ = 2 ¹ mn°żeniu tożsamości (1) przez wspólny mianownik musimy wprawdzie wykluczyć wartości *^ar|oś_c ^ *^cl°^ryc*¹ mianownik rówrna się zeru, ale mimo to tożsamość (2) jest spełniona i dla tych ^żdego °*^{5U stronac}h tożsamości (2) znajdują się bowiem wielomiany, a więc funkcje ciągłe dla lojj ^x 2 ciągłości w punktach x = 2, x= —i i równości wielomianów dla pozostałych x wynika rów-^,elontianów i dla tych dwóch wartości x.