img040

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

(3Ax² + 2Bx+ C)(2x² - x +l)* - (Ax³ + 5x² + Cx + D) ■ 2(2x² -x + l)(4x -1)    Ex+ F

(2x²-x + l)⁴    2x²-x + 1

• (2x²-x₊l)\

(3Ax² + 2Ex+C)(2x² - x+1) ~ ( Ax³ + 5x² + Cx + f>)(8x - 2)    p.x+F

2x -x+l

(2x²-x+1)³

Stąd

4x⁵ -4x⁴ + 5x³ -8x² +26x-5 = (3Ax² +2Bx+C)(2x² — x + l)-(Ar³ + Bx² +Cx + D)(8x-2) +

+(Ex + F)(4x⁴ -4x³ + 5x² -2x +1),

a zatem

X^5	4 E =4	li o
4 X	-2A-4E+F = -4	5=0
x^5	-A-4B+5E-4F = 5	II O
X^2	3A-6C-2E+5F = -8	D = -3
X^1	2B+C-&D+ E-2F = 26	E = 1
x°	C+2D+F = -5	F = 0.

Wobec tego

(• 4x^5 - 4x^<	^l+5x^3-8x^2 + 26x-5 ,		x-3	, 1	p xdx
^1 1	(2x^2-x+l)	1 1	(2x^2-x+l)	i* ^J	' 2x^2 -x + l

x-3

(2x²-x + l)²

40

1

/ ₂    \    1    4x-l „

+—ln(2x -x+l)+—=rarctg—=- + C 4 ^v    ’ 2V7 v7

(zobacz przykład 3.1).

Analiza ostatnich trzech przykładów uzasadnia sformułowanie kilku uwag praktycznych.

Uwaga 3.5

Całkowanie funkcji wymiernych spełniających założenia odnotowane w uwadze 3.3 metodą wyodrębnienia części wymiernej, tj. zastosowanie twierdzenia 3.4, jest uproszczone w przypadku, gdy mianownik tejże funkcji wymiernej, tj. wielomian W , jest zapisany w postaci (3.13), przy czym co najmniej jeden z wykładników k_lt..., k_s, /,,..., /Jest większy od jeden (tzn. s + t < m), ale żaden z nich nie jest zbyt duży (np. większy lub równy cztery), gdyż w ostatnim przypadku otrzymujemy zbyt duży układ równań algebraicznych (liniowych!) na nieznane współczynniki.