img459

Ad b) D_t = R. Dla dowolnego x₀e R mamy:

lim ^/(Xo+>,> ~ ^/W - lim ^|o(*°^+/,|łl>l ~    = lim ^ = lim o = o,

/)->0    h    h-*0    fo    h-tO ^1    h--*0

ponieważ w ostatniej granicy wyrażenie pod znakiem granicy (czyli a) nie zależy od h.

Ostatecznie więc f'(x) = a i D_r = R.

Ad c) D_f = R. Dla n = 1 rozwiązanie wynika z części b), jeśli przyjmiemy o = 1 i b = O. Załóżmy teraz, że n e {2, 3, 4, ...}. Weźmy dowolne x₀ e /?. Wtedy

lim

/i->0

/(x₀+ h)-f{x₀) _ _|jm (x₀+ h)ⁿ - (x₀)ⁿ h    ^h^°    h

Na podstawie wzoru dwumianowego Newtona, obliczamy:

(x₀)ⁿ-² • h² + ... + hⁿ.

(x₀+ h)ⁿ = (x₀)ⁿ + n • (x₀)ⁿ-¹ • h +

Zatem:

/(x₀+/))-/(x₀) lim -= lim

A—>o    h    /7-»o

n • (x₀)'¹-¹ • h +

f \ n

(x₀)ⁿ-² • b² + ... + hⁿ

= lim

h-+0

	fn 2
n • (x0)^n-^1 +		(X0)^n~^2 ■/)+... + /7"~^1
_

= n ■ (xb)

n-1

n składników

czyli /'(x₀) = n • (x₀)^n_1. Mamy więc:

/'(x) = n ■ xⁿ~\ x e /?, ne{2, 3, ...}.

Zwróćmy uwagę na funkcję z punktu c). Gdyby n = -, to funkcja ta miałaby

postać /(x) = Vx\ o której mowa we wniosku ze str. 86.

Zatem /'(x) =    ■ A więc jeżeli /(x) = x² to /'(x) = ^czyli /' (x)= ^ x ².

Nasuwa to przypuszczenie, że jeżeli /(x) = xP, to /'(x) = n • xⁿ ~ ¹ zachodzi nie tylko dla ne{2, 3, ...}. Tak jest w istocie i mówi o tym kolejne twierdzenie.

TWIERDZENIE 3.

Jeżeli f(x) = x^a, gdzie x > 0 i a e R, to /'(x) = a • x“ ~¹, x > 0 i a e ft.

WNIOSEK

Jeżeli:

^a)    /(*) = x², x e R, to /'(x) = 2x, x g /?;

b)    /(x) = 1, x G/?-{0), to /'(x) = --V, X g /?- {O};

X    X

^C) f(^x) =    , x G /?+ U {O}, to /'(X) = —^- , X G /?₊.

Uzasadnij każdy z tych wniosków.

Podstawowe własności pochodnej funkcji

Z twierdzenia 2. i definicji funkcji pochodnej łatwo jest wyprowadzić następujące twierdzenie.

Załóżmy, że funkcja / jest różniczkowalna w zbiorze A oraz funkcja g jest różniczkowana w zbiorze B. Wtedy:

a)    funkcja c • /, gdzie cg/?, jest różniczkowalna w zbiorze A i

(c-/)'(x) =c-/'(x)

(mówimy: stałą można wyłączyć przed znak funkcji pochodnej);

b)    funkcja / + g jest różniczkowalna w zbiorze A n B i

(/ + 9)'W =/'(x)+9'(x)

(mówimy: funkcja pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie funkcji pochodnych) ;

c)    funkcja / - g jest różniczkowalna w zbiorze A n B i

(/-<?)'(*) =/'(*)-9'M

(mówimy: funkcja pochodna różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy funkcji pochodnych);

d)    funkcja / • g jest różniczkowalna w zbiorze A n B i

(/ • 9)'W = /'W • g(x) + f(x) ■ g'(x)

(jest to wzór na funkcję pochodną iloczynu);